Electricidad y Magnetismo.

Practicas de Laboratorio.

 

Agrupación de condensadores.

Consideremos el problema de los dos condensadores iguales. Inicialmente uno de ellos se encuentra cargado con una carga Q, y el otro descargado. Se ponen en contacto formando un circuito, en el estado final, los dos condensadores quedan cargados con una carga Q/2 cada uno. Este problema, que a primera vista parece trivial, tiene sin embargo, mucho interés ya que nos permite estudiar modelos cada vez más elaborados que explican de forma más realista el proceso de descarga de un condensador y la carga del otro inicialmente descargado.

  1. Los condensadores se unen mediante hilos superconductores.
  2. Los condensadores se unen mediante cables que presentan cierta resistencia la paso de la corriente.
  3. Se tiene en cuenta la autoinducción del circuito.

Condensadores en paralelo.

Los condensadores se pueden agrupar en serie o en paralelo.

El caso más importante sucede cuando se conectan las placas del mismo signo de dos condensadores de capacidades C1 y C2. Si inicialmente el condensador C1 se ha cargado con una carga Q y se conecta al condensador C2 inicialmente descargado. Después de conectarlos, las cargas pasan de un condensador al otro hasta que se igualan los potenciales.

figura 1

Las cargas finales de cada condensador q1 y q2, se obtienen a partir de las ecuaciones de la conservación de la carga y de la igualdad de potenciales de los condensadores después de la unión.

formula 1

Despejando q1 y q2, en el sistema de dos ecuaciones:

formula 2

La energía inicial, es la almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador de capacidad C1.

formula 3

La energía final, es la suma de las energías almacenadas en los dos condensadores.

formula 4

Como vemos la energía final Uf es menor que la inicial Ui.

En la figura, se muestra la analogía hidráulica de un sistema formado por dos condensadores en paralelo.

figura 2

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un condensador cargado a una diferencia de potencial V, la carga que adquiere el condensador es Q0 = C·V. La energía acumulada en el condensador es U0 = CV2/2

figura 3

Supongamos que conectamos este condensador a otro idéntico inicialmente descargado. Cuando el circuito se cierra la carga fluye del primero hacia el segundo hasta que la diferencia de potencial en ambos condensadores es la misma.

Como la capacidad C de ambos condensadores es la misma, la carga final de cada uno de los condensadores será la mitad de la carga inicial.

Q1 = Q0/2, V1 = V/2

Q2 = Q0/2, V2 = V/2

La energía acumulada por el sistema formado por los dos condensadores es:

formula 5

La energía final es la mitad de la energía inicial. Siempre se perderá la mitad de la energía independientemente de que cambiemos o no la resistencia de los cables que unen los condensadores.

Analogía hidráulica.

Supongamos dos depósitos cilíndricos iguales conectados por un tubo horizontal de sección despreciable, tal como se indica en la figura, el primero de ellos con una masa m de agua, y el segundo vacío.

figura 4

La energía inicial del agua es la energía potencial del centro de masas del agua que está a una altura h de la base. U0 = mgh.

Si se abre la llave el agua el agua fluye del primer depósito al segundo, hasta que la altura del agua es la misma en ambos. Por tanto, el agua se reparte por igual entre los dos depósitos. La energía final será:

formula 6

La mitad de la energía inicial.

Como hemos visto, si no hubiese resistencia alguna, no habría pérdidas en la energía ya que la energía potencial del agua se transforma en cinética del agua que fluye y viceversa. El agua pasaría de un depósito al otro, se produciría un movimiento oscilatorio. Lo mismo ocurriría en un sistema de dos condensadores, la carga oscilaría entre los dos condensadores.

La resistencia del tubo que conecta los dos depósitos al movimiento del agua es análoga a la resistencia de los cables que conectan los dos condensadores, el primero se opone al flujo del agua, el segundo al flujo de carga. Después de unas cuantas oscilaciones se alcanza la situación final de equilibrio.

figura 5

La situación final no se alcanza por tanto, de una vez, sino después de un cierto tiempo tanto más pequeño cuanto mayor sea la resistencia.

Circuito formado por dos condensadores y una resistencia.

Consideremos el siguiente circuito formado por dos condensadores de capacidades C1 y C2 y una resistencia R.

figura 6

El condensador de capacidad C1 está cargado con una carga Q, y el condensador de capacidad C2 está inicialmente descargado. En el instante t = 0, se cierra el circuito. El condensador de capacidad C1 se descarga a través de la resistencia R y carga al condensador de capacidad C2.

En un instante dado t, tendremos que:

  • El condensador C1 tiene una carga q1.
  • El condensador C2 tiene una carga q2.
  • Por la resistencia R circula una corriente de intensidad i.

Medimos las diferencias de potencial entre los puntos a y b, b y c, c y a. Se cumplirá que:

Vab + Vbc + Vca = 0

  • En el condensador C1 el potencial de a (placa negativa) es menor que el b (placa positiva), de modo que Vab = -q1/C1
  • En la resistencia R la corriente de intensidad i circula de b a c, luego Vbc = iR
  • En el condensador C2 el potencial de c (placa positiva) es mayor que el a (placa negativa), de modo que Vca = q2/C2

La ecuación del circuito será:

formula 7

La carga q1 disminuye con el tiempo y la carga q2 aumenta con el tiempo, la intensidad i (carga por unidad de tiempo) valdrá:

formula 8

Derivamos la ecuación previa respecto del tiempo:

formula 9

Integramos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t=0, la intensidad i=i0.

En el instante inicial t=0, el condensador de capacidad C2 se encuentra descargado, el condensador de capacidad C1 tiene una carga inicial Q. Por tanto Vca = 0, y la ecuación del circuito se escribe Vab + Vbc = 0 o bien:

-Q/C1 + i0·R = 0

La solución de la ecuación diferencial es:

formula 10

Calculamos las cargas de cada condensador en función del tiempo con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la carga del condensador C1 es q1 = Q, y la carga del condensador C2 es q2 = 0.

formula 11

Como vemos q1 + q2 = Q, la carga total en los condensadores es la carga inicial.

Después de un tiempo teóricamente infinito, se establece una situación de equilibrio en el que las cargas finales de los condensadores serán:

formula 12

El mismo resultado que hemos obtenido en el apartado anterior Condensadores en paralelo.

Otra forma de obtener este resultado es la siguiente:

Después de un tiempo teóricamente infinito la intensidad se hace cero. En la ecuación del circuito ponemos Vbc = 0, por lo que Vab + Vca = 0, o bien:

-q1/C1 + q2/C2 = 0

Por la conservación de la carga:

q1 + q2 = Q

A partir de estas dos ecuaciones calculamos q1 y q2 en la situación final de equilibrio, del mismo modo que en el apartado Condensadores en paralelo.

Estudio energético.

La energía inicial almacenada en el condensador de capacidad C1 es:

formula 13

La energía final almacenada en los condensadores después de un tiempo teóricamente infinito es:

formula 14

La energía disipada en la resistencia R hasta que se establece la situación de equilibrio es:

formula 15

Como podemos comprobar parte de la energía inicial se disipa en la resistencia y la otra parte, se almacena en los condensadores en forma de campo eléctrico.

Uf = U1-UR

Condensadores ideales en serie.

Sean dos condensadores de capacidades C1 y C2 dispuestos en serie.

figura 7

Los dos condensadores tienen la misma carga q. La diferencia de potencial entre a y c es:

Vac = Vab +Vbc = q/C1 + q/C2 = q(1/C1 + 1/C2)

La agrupación de dos condensadores en serie es equivalente al de un condensador de capacidad Ce.

formula 16

Esta es la situación ideal, en la que se supone que los condensadores no pierden carga, las dos placas del condensador están perfectamente aisladas una de la otra. Esto no es lo que ocurre en la situación real.

Condensadores con pérdidas en serie.

Un condensador con pérdida de carga es equivalente a un condensador ideal de capacidad C que se descarga a través de una resistencia R. Como ya hemos estudiado en la página anterior, la carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo.

figura 8formula 17

La resistencia R no suele ser constante sino que depende de la diferencia de potencial V = q/C entre las placas del condensador. Sin embargo, en nuestro estudio supondremos que la resistencia R es constante. Hay condensadores que tiene constantes de tiempo RC del orden de minutos. Sin embargo, hay otros como aceites o plásticos especiales cuyas constantes de tiempo se miden en horas o en días.

Consideremos ahora la situación que se muestra en la figura en la cual los condensadores tienen pérdidas. Si se establece una diferencia de potencial V entre a y c.

figura 9

Estado inicial.

Inicialmente las cargas de los condensadores son iguales y las diferencias de potencial entre sus placas son respectivamente V1 = q/C1 y V2 = q/C2. Por lo que cumple que:

formula 17

Como V1 + V2 = V tendremos que:

formula 18

La corriente comienza a fluir a través de las resistencias R1 y R2 y en general las cargas en los condensadores serán distintas.

Estado final.

Si la diferencia de potencial entre los extremos a y c se mantiene constante, se alcanza un estado estacionario en el que la misma corriente i pasa por las resistencias R1 y R2. Se cumplirá entonces que V1 = iR1 y V2 = iR2. Por lo que tendremos la relación:

formula 19

Como V1 + V2 = V tendremos que:

formula 20

La carga final de cada condensador será q1 = V1·C1 y q2 = V2·C2, de modo que se cumple la relación:

formula 21

Evolución del estado inicial al final.

Supongamos que a los extremos a y c se aplica una diferencia de potencial constante V.

La corriente total i que pasa por a o que sale en b en el instante t, es la suma de dos términos:

  • La corriente i1 que pasa por la resistencia R1.
  • La razón del cambio de la carga del condensador con el tiempo dq1/dt.

Tal como hemos visto al estudiar el circuito formado por dos condensadores y una resistencia.

Del mismo modo, la corriente i que entra en b o que sale en c en el instante t, es la suma de dos términos:

  • La corriente i2 que pasa por la resistencia R2.
  • la razón del cambio de la carga del condensador C2 con el tiempo dq2/dt.

formula 22

Sustituyendo V2 = V-V1 tenemos una ecuación en V2.

formula 23

o bien:

formula 24

Integramos esta ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la diferencia de potencial entre las placas del condensador C2 es V02 tal como vimos al principio de este apartado.

formula 25

Integrando:

formula 26

El resultado final es:

formula 27

Comprobación.

En el estado inicial t=0 tenemos que:

formula 28

En el estado final t → tenemos:

formula 29

Intensidad de la corriente.

La intensidad de la corriente i es igual a:

formula 30

La intensidad es máxima en el instante t=0, y tiende hacia un valor constante V0/(R1+R2) para t→

Caso especial.

En el caso especial de que C1R1 = C2R2 las diferencias de potencial V1 y V1 son independientes del tiempo, aunque la corriente sigue fluyendo a través del condensador.

formula 31

Como C1R2 = C2R2 las cargas en los condensadores q1 y q2 son iguales.

Esta condición se puede cumplir eligiendo adecuadamente la permitividad relativa k y la resistividad p del dieléctrico que se coloca entre las placas de un condensador plano paralelo cuyas placas tiene un área A y están separadas una distancia d.

  • La capacidad del condensador es C = ke0A/d.
  • La resistencia al paso de la corriente es R = pd/A.

El producto de ambas magnitudes solamente depende de la permitividad relativa k y de la resistividad p del dieléctrico, RC = p ke0.

Siempre que de los dieléctricos que separan las placas de los dos condensadores sean tales que cumplan la relación p1 k1 = p2 k2 se cumplirá también que C1R1 = C2R2

Ejemplo 1:

  • Los datos del primer condensador son C1 = 0.2µF y R1 = 5000 MΩ.
  • Los datos del segundo condensador son C2 = 0.5µF y R2 = 1000 MΩ.

En el instante inicial t=0 la relación V1/V2 = 2.50. Después de un tiempo suficientemente grande t→ V1/V2 = 5.0

Ejemplo 2:

  • Los datos del primer condensador son C1 = 0.1µF y R1 = 5000 MΩ.
  • Los datos del segundo condensador son C2 = 0.5µF y R2 = 1000 MΩ.

Se cumple el caso especial de que C1R1 = C2R2. La relación V1/V2 = 5 en la situación inicial (t=0) y en la final (t→). Aunque la carga de cada condensador no cambia, la intensidad no es nula.

Nota:
En el artículo citado en las referencias se obtiene la misma expresión de V2(t) suponiendo una situación más relista que V pasa de 0 al valor constante V0 en un tiempo muy corto.

formula 32

Donde la constante de tiempo t es muy pequeña comparada con las constantes de tiempo en el proceso de autodescarga de los dos condensadores C1R1 ó C2R2.

Actividades.

Se introduce:

  1. La capacidad del primer condensador C1, en micro Faradios.
  2. La resistencia del primer condensador R1 en mega Ohm.
  3. La capacidad del segundo condensador C2, en micro Faradios.
  4. La resistencia del segundo condensador R2 en mega Ohm.
  5. La diferencia de potencial a través de los dos condensadores se mantiene constante e igual a 100V.
  6. Se pulsa el botón titulado Empieza.

Se representa en la parte izquierda del applet, la representación gráfica de V1/V2 en función de t/T. Donde T es la constante de tiempo T = R1R2(C1+C2)/(R1+R2).

Dos líneas horizontales de color azul, indican el valor inicial del cociente V1/V2 = C2/C1 en el instante t=0, y el valor final de dicho cociente cuando t→ V1/V2→R1/R2.

La fuente de alimentación la representamos mediante un depósito muy grande, cuya altura de líquido permanece constante durante toda la experiencia. Los condensadores con pérdidas los representamos como depósitos de fluido que descargan a través de un capilar:

  • La anchura del depósito es proporcional a la capacidad C.
  • La altura es proporcional a la diferencia de potencial entre sus placas V.
  • la carga (q = CV) es proporcional al área sombreada de color azul claro.

Observamos como va cambiando la altura de fluido en cada uno de los tubos capilares a medida que transcurre el tiempo. Puntos de color rojo, representan la intensidad i de la corriente ( movimiento de los portadores de carga positivos) que va disminuyendo con el tiempo, hasta que alcanza el valor constante V/(R1+R2) cuando t→.

Nota:
En esta página no se demuestra que el circuito eléctrico y el hidráulico representado en el applet tengan un comportamiento análogo. El circuito hidráulico se emplea exclusivamente como imagen para representar los cambios que tienen lugar en el circuito eléctrico a medida que transcurre el tiempo.
LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Elaborado en: Enero del 2004 | Ultima actualización: Enero del 2005.