Electricidad y Magnetismo.

Practicas de Laboratorio.

 

Carga inducida en un conductor esférico.

El método de las imágenes.

El teorema de Gauss nos dice cómo es el campo en las proximidades de un conductor cuando conocemos como se distribuye la carga en su superficie. La situación inversa es la de preguntarnos como se distribuye la carga en un conductor cuando sobre él actúa un determinado campo.

figura 1

La carga imagen.

Supongamos un sistema formado por una carga puntual Q en las proximidades de una esfera conductora a potencial cero a una distancia d de su centro. El método de las imágenes nos permite sustituir el conductor por una carga imagen q que anulará el potencial sobre la superficie esférica de radio R.

El potencial en el punto P1 de la superficie esférica deberá ser cero.

formula 1

El potencial en el punto P3 diametralmente opuesto deberá ser cero.

formula 2

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que despejamos q y b.

formula 3

Podemos demostrar haciendo algunas operaciones que estos valores de q y b hacen que el potencial en cualquier punto P2 de la superficie esférica, es también cero.

formula 4

El potencial.

Vamos a calcular el campo en cualquier punto P exterior a la esfera conductora. Primero calculamos el potencial.

formula 5 figura 2

Se expresa r1 y r2 en coordenadas polares en función de la distancia radial r del centro de la esfera al punto P y del ángulo q.

formula 6

De este modo V es una función de r y q.

Componente radial del campo.

Para calcular el vector campo E se halla el gradiente del potencial cambiado de signo. Busquemos el valor de la componente radial del campo.

formula 7

La carga inducida en el conductor esférico.

Según hemos mencionado el campo en las proximidades de una superficie conductora es perpendicular a dicha superficie luego, el campo en la superficie esférica conductora es radial. Calculamos Er para r = R y a continuación la densidad superficial de carga inducida en la esfera teniendo en cuenta la expresión calculada para el campo en las proximidades de la superficie de un conductor s = e0Er

formula 8 figura 3

Evidentemente, si integramos esta densidad de carga sobre la superficie de la esfera, obtenemos la carga total inducida q.

formula 9

La carga total inducida sobre la esfera conductora es igual a la carga imagen que sustituye a la esfera.

Este resultado es consecuencia de la ley de Gauss: si dibujamos una superficie cerrada que abarque a la esfera pero que esté muy próxima a ésta, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie y por tanto, la carga en el interior de dicha superficie cerrada debe ser la misma, independientemente de que esté sobre la esfera conductora o haya sido sustituida por la carga imagen.

Actividades.

Este applet muestra las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales de un sistema formado por una carga puntual y una esfera conductora conectada a tierra.

Se introduce:

  • El valor de la carga puntual Q, en el control de selección titulado Carga.
  • La distancia d entre la carga puntual y el centro de la esfera conductora, en el control de edición titulado Distancia.
  • El radio R de la esfera se ha fijado en la unidad.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

La esfera conductora a potencial cero se sustituye por una carga imagen que aparece como un pequeño círculo de color azul. Observar que la carga imagen es negativa (color azul) si la carga puntual es positiva (color rojo). La carga imagen disminuye al aumentar la separación d, y aumenta con la carga puntual Q.

Observar que las líneas de fuerza que llegan al conductor esférico son perpendiculares a su superficie.

Se han trazado las líneas equipotenciales a la izquierda del applet separadas 0.1 unidades. Sin embargo, la diferencia de potencial entre dos líneas equipotenciales de la derecha del applet es de 0.01 unidades arbitrarias.

Activando la casilla de titulada carga inducida desaparece la carga imagen y aparece una distribución de carga sobre la superficie de la esfera conductora en forma de pequeños puntos de color azul que pretenden darnos una imagen de la dependencia de la densidad de carga s con el ángulo q.

Podemos observar que la densidad de carga es mayor en la parte de la esfera que está más cerca de la carga puntual positiva y es pequeña, en la parte opuesta, más alejada.

Podemos calcular la fuerza de atracción entre la carga puntual positiva y la esfera conductora, aplicando la ley de Coulomb a la carga puntual Q y a la carga imagen q, separadas una distancia d-b.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Elaborado en: Enero del 2004 | Ultima actualización: Enero del 2005.