Electricidad y Magnetismo.

Practicas de Laboratorio.

 

Ley de Gauss: Linea de cargas.

Campo producido por un conjunto de cargas iguales e igualmente espaciadas.

Hemos determinado ya el campo producido por un sistema de dos cargas y estudiado un caso de especial importancia, el dipolo eléctrico.

Vamos estudiar un sistema un sistema de n cargas puntuales iguales y equidistantes n>2, como paso previo a la obtención del campo producido por una distribución continua de carga.

figura 1

El campo eléctrico E producido por n cargas en el punto P, es la suma vectorial de los campos producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P.

formula 1

Donde ri es el vector unitario cuya dirección es la recta que pasa por la carga i y el punto P.

El potencial en el punto P, es la suma de los potenciales producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P.

formula 2

Actividades.

En el applet se muestra las líneas de campo eléctrico de una, dos, ... hasta ocho cargas iguales y equidistantes alineadas, pulsando el botón titulado Siguiente.

Podemos observar que a medida que aumenta el número de cargas la dirección del campo eléctrico se hace perpendicular a la línea de cargas. Las equipotenciales se aproximan a líneas rectas paralelas a línea cargada, ya que son perpendiculares a la dirección del campo en cada punto.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Campo producido por un hilo rectilíneo cargado.

En este apartado vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de lcm.

figura 2

El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y por módulo.

formula 3

Este campo tiene dos componentes una a lo largo del eje vertical Y, y otra a lo largo del eje horizontal X.

formula 4

La componente horizontal X no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El elemento de carga dq situado en x, y el elemento de carga dq situado en –x producen campos cuyos módulos son iguales, y cuyas componentes horizontales son iguales y opuestas. El campo total es la suma de las componentes verticales Y.

formula 5

El campo tiene por dirección la perpendicular a la línea indefinida cargada tal como se indica en la figura de la derecha.

Concepto de flujo del campo eléctrico.

figura 3

Se denomina flujo del campo eléctrico al producto escalar del vector campo por el vector superficie F = E·S

El vector superficie es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.

Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero.

 

Ley de Gauss.

figura 4

El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre e0.

formula 6

Para una línea indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:

  1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
  2. La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada.

  3. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo.
  4. Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.

    El cálculo del flujo, tiene dos componentes:

    • Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero.
    • Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie dS. El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la superficie lateral, por lo que:
    • formula 7

      El flujo total es por tanto; E·2p rL

  5. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada.
  6. La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q=l L, donde l es la carga por unidad de longitud.

  7. Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico.
  8. formula 8

    El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.

Elaborado en: Enero del 2004 | Ultima actualización: Enero del 2005.