Electricidad y Magnetismo.

Practicas de Laboratorio.

 

Modelo eléctrico del ciclo de Carnot.

En esta página, se describe un modelo eléctrico del ciclo de Carnot, cuyo propósito es el de practicar con la relación q=C·V, entre las magnitudes:

  • Carga q del condensador.
  • Capacidad C.
  • Diferencia de potencial V entre sus placas.

Al estudiar los ciclos de los hipotéticos motores térmicos, usamos la relación p·V=nRT de un gas ideal.

  • Presión p del gas.
  • Volumen V del recipiente.
  • Temperatura absoluta T del gas.

Además, y como ya hicimos en el estudio del ciclo de Carnot, se calcula y se relaciona en cada una de las cuatro etapas de las que consta el ciclo.

  • La energía del condensador (similar a la energía interna).
  • El trabajo realizado al desplazar su placa móvil en contra de las fuerzas de atracción eléctrica.
  • La energía eléctrica (similar al calor) absorbida o cedida por el condensador cuando se conecta a las baterías.
figura 1

En la figura, se muestra el dispositivo eléctrico análogo al motor ideal de Carnot. La batería superior V1 tiene un potencial mayor que la batería inferior V2. Ambas representan dos focos de calor uno caliente a la temperatura T1 y otro frío a la temperatura T2, respectivamente.

La placa fija del condensador se conecta a los terminales negativos de las baterías y ésta a Tierra. Las cuatro etapas del ciclo son:

  1. Se cierra el interruptor S1 y se conecta el terminal positivo de la batería V1 a la placa móvil.
  2. Se abre el interruptor S1.
  3. Se cierra el interruptor S2 y se conecta el terminal positivo de la batería V2 a la placa móvil.
  4. Se abre el interruptor S2.

Etapas del ciclo.

En primer lugar, recordamos la fórmula de la capacidad de un condensador plano-paralelo cuyas placas tienen un área S y están separadas una distancia d.

formula 1

Situación inicial.

Partimos de una situación inicial en el que las placas del condensador plano-paralelo de área S, están separadas una distancia d1, y la placa móvil está conectada a la batería V1. La carga q1 del condensador será:

formula 2

La energía inicial del condensador es:

formula 3

1. Proceso V=cte.

figura 2

Se cierra el interruptor S1 y se conecta el terminal positivo de la batería V1 a la placa móvil. La separación entre las placas disminuye de d1 a d2. La carga aumenta de q1 a q2.

La carga q del condensador y su energía U cuando la separación entre las placas es x, d2<=x<=d1 son respectivamente:

formula 4

La fuerza Fe de atracción ente las placas cuando la diferencia de potencial V es constante es:

formula 5

El trabajo W realizado por la fuerza Fe es:

formula 6

La batería V1 suministra carga al condensador. Cuando el condensador está cargado con una carga q, la energía suministrada por la batería será:

formula 7

Cuando se termina la primera etapa x=d2, la carga q2 del condensador será:

formula 8

Y la energía final U del condensador:

formula 9

La variación ΔU1 de la energía del condensador es:

formula 10

El trabajo W1 realizado por la fuerza de atracción eléctrica Fe es:

formula 11

La energía Q1 suministrada por la batería será:

formula 12

Como podemos comprobar la energía suministrada por la batería Q1 se invierte en aumentar la energía del condensador ΔU1 y en realizar un trabajo W1.

Q1 = ΔU1 + W1.

2. Proceso q=cte.

figura 3

Se abre el interruptor S1. La separación entre las placas disminuye de d2 a d3. La diferencia de potencial entre las placas disminuye de V1 a V2 mientras la carga de las placas permanece constante q2.

Calculamos el valor de d3 para que la diferencia de potencial entre las placas del condensador al terminar esta etapa sea V2.

formula 13

La diferencia de potencial V entre las placas del condensador y su energía U cuando la separación entre las placas es x, d3<=x<=d2 son respectivamente.

formula 14

La fuerza Fe de atracción ente las placas cuando la carga q es constante es:

formula 15

El trabajo W realizado por la fuerza Fe es:

formula 16

Cuando se termina la segunda etapa x=d3, la carga del condensador es q2 y la energía final es:

formula 18

La variación de energía ΔU2 del condensador será:

formula 19

El trabajo W2 realizado por la fuerza de atracción eléctrica Fe es:

formula 20

Como vemos se cumple que ΔU2 + W2= 0. La energía del condensador disminuye y se transforma en trabajo de la fuerza de atracción entre las placas.

3. Proceso V=cte.

figura 4

Se cierra el interruptor S2 y se conecta el terminal positivo de la batería V2 a la placa móvil. La separación entre las placas aumenta de d3 a d4. La carga disminuye de q2 a q1.

Calculamos el valor de d4 para que la carga del condensador al terminar esta etapa sea q1.

formula 21

La carga q del condensador y su energía U cuando la separación entre las placas es x, d3<=x<=d4 son respectivamente.

formula 22

La fuerza Fe de atracción ente las placas (enlace) cuando la diferencia de potencial V es constante es:

formula 23

El trabajo W realizado por la fuerza Fe es:

formula 24

La batería V2 retira carga del condensador. Cuando el condensador está cargado con una carga q, la energía cedida a la batería será:

formula 25

Cuando se termina la tercera etapa x=d4, el condensador estará cargado con una carga q1 y la energía final U del condensador.

formula 26

La variación ΔU3 de la energía del condensador es:

formula 27

El trabajo W3 realizado por la fuerza de atracción eléctrica Fe es:

formula 28

La energía Q3 cedida a la batería será:

formula 29

Como podemos comprobar la energía cedida a la batería Q3 proviene de la energía del condensador ΔU3 y del trabajo W3.

Q3 = ΔU3 + W3.

4. Proceso q=cte.

figura 5

Se abre el interruptor S2. La separación entre las placas aumenta de d4 a d1. La diferencia de potencial entre las placas aumenta de V2 a V1 mientras la carga de las placas permanece constante q1.

La diferencia de potencial V entre las placas del condensador y su energía U cuando la separación entre las placas es x, d4<=x<=d1 son respectivamente.

formula 30

La fuerza Fe de atracción ente las placas (enlace) cuando la carga q es constante es:

formula 31

El trabajo W realizado por la fuerza Fe es:

formula 32

Cuando se termina la cuarta etapa x=d1, la carga del condensador es q1 y la energía final es:

formula 33

La variación de energía ΔU4 del condensador será:

formula 34

El trabajo W4 realizado por la fuerza de atracción eléctrica Fe es:

Como vemos se cumple que ΔU4 + W4 = 0. La energía del condensador aumenta a costa del trabajo de la fuerza de atracción entre las placas.

El ciclo completo.

Los datos del ciclo son los potenciales de las baterías V1, V2 y las distancias d1 y d2 entre las placas del condensador plano-paralelo, que como veremos no afectan al rendimiento del ciclo.

Variación de energía del condensador.

Se puede demostrar que la variación de energía del condensador en el ciclo completo es cero.

ΔU= ΔU1 +ΔU2 +ΔU3 +ΔU4 = 0

Para ello expresamos todos los términos en función de los datos V1, V2, d1 y d2.

formula 35

Trabajo total.

Expresamos todas las contribuciones al trabajo en función de V1, V2, d1 y d2.

formula 36

El trabajo total:

W = W1 + W2 + W3 + W4

formula 37

La energía Q1 absorbida por condensador de la batería que está al potencial V1 es:

formula 38

La energía Q3 cedida por el condensador a la batería que está a potencial V2 es:

formula 39

Podemos comprobar que Q1 + Q3 = W

Parte la energía Q1 absorbida por el condensador de la batería a potencial V1se emplea en realizar un trabajo W y la otra parte |Q3| se cede a la batería que está a un potencial más bajo V2.

El rendimiento del ciclo es:

formula 40

Actividades.

Se introduce:

  1. El potencial V1 de la batería superior, en el control de edición titulado Potencial V1.
  2. El potencial V2 de la batería inferior, en el control de edición titulado Potencial V2.
  3. La distancia d1 inicial entre las placas del condensador está fijada en el programa en el valor d1=10.0
  4. La distancia d2 se puede cambiar a un comprendido entre 3.0 y 9.0, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición d2.
  5. Se pulsa el botón titulado Empieza.

Se tendrá que cumplir que V1>V2. En el caso de que V1 sea inferior a V2 el programa no prosigue y nos invita a modificar bien V2 o V1.

Al lado de la placa derecha, se dan los valores de:

  • La carga q del condensador (abajo).
  • La diferencia de potencial V entre sus placas (arriba).

Al lado de la placa izquierda, se proporciona los datos de:

  • La energía Q1 suministrada por la batería superior (arriba).
  • La energía U del condensador cargado (en medio).
  • La energía Q3 cedida a la batería inferior (abajo).

Un diagrama de barras en la parte derecha del applet nos da para cada una de las etapas:

  • La variación de la energía del condensador ΔU (en rojo).
  • El trabajo W realizado por las fuerzas de atracción eléctrica entre las placas (en azul).
  • La energía Q suministrada por la batería superior (positiva) o cedida a la inferior (negativa) en color gris.

Los datos se dan en un sistema de unidades en el que el producto e0S = 1.

Ejemplo:

  • Potencial de la batería superior V1 = 500.0
  • Potencial de la batería inferior V2 = 300.0
  • La distancia inicial entre las placas es d1 = 10.0
  • Introducimos la distancia d2 entre las placas, d2 = 7.0

Calculamos los valores de d3 = 4.2 y d4 = 6.0

Y las cargas del condensador en la primera y tercera etapa q1 = 50.0, q2 = 71.4

Tabla de Variaciones.
Etapa Variación de energía ΔU trabajo W Bateria Q
Primera, V1=cte 5357.1 5357.1 10714.3
Segunda, q2=cte -7142.9 7142.9 0
Tercera, V2=cte -3214.3 -3214.3 -6428.6
Cuarta, q1=cte 5000 -5000 0
Total 0 4285.7 4285.7

Rendimiento:

formula 41

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Elaborado en: Enero del 2004 | Ultima actualización: Enero del 2005.