Electricidad y Magnetismo.

Practicas de Laboratorio.

 

Movimiento vertical de un conductor en un campo magnetico constante.

Hemos analizado en la página anterior, el movimiento de una varilla que desliza sobre dos guías paralelas horizontales en un campo magnético constante. Para mantener la velocidad constante de la varilla era necesario aplicar una fuerza. En el estado estacionario, el trabajo de dicha fuerza se disipa en la resistencia en forma de calor.

Supongamos que las guías conductoras paralelas están en el plano vertical y la varilla desliza sin rozamiento, dejándola caer desde una altura h.

Cálculo de la fem.

El campo magnético B es constante y es perpendicular al plano determinado por las guías y la varilla. El flujo del campo magnético a través del circuito de forma rectangular ABCD señalado en la figura es:

formula 1

donde a·x es el área del rectángulo ABCD.

figura 1

Al moverse la varilla CD la dimensión x del rectángulo disminuye. De acuerdo a la ley de Faraday, la fem inducida es:

formula 2

Como x disminuye con el tiempo su derivada es negativa, x = x0 - v·t

Sentido de la corriente inducida.

Si el campo magnético apunta hacia el lector, al disminuir el área S, disminuye el flujo F, el sentido de la corriente inducida es el contrario a las agujas del reloj.

Si la resistencia del circuito es R, la intensidad de la corriente inducida es i = VE/R = vBa/R.

Resistencia de la varilla.

En esta experiencia vamos a suponer que las guías son superconductoras o bien, que su resistencia es despreciable frente a la de la varilla. La varilla tiene una sección fija de 1 mm2 pero su longitud a puede se puede modificarse dentro de ciertos límites.

Los materiales disponibles para fabricar la varilla figuran en la siguiente tabla:

Tabla de Materiales.
Conductor Densidad (kg/m3) Resistividad r (Ω ·m)
Aluminio 2700 2.8·10-8
Cobre 8930 1.75·10-8
Hierro 7880 9.8·10-8
Plomo 11350 22.1·10-8
Wolframio 19340 5.5·10-8

La masa de la varilla se obtiene multiplicando la densidad por el volumen de un cilindro de sección S y longitud a. La resistencia se calcula mediante la siguiente fórmula: se multiplica la resistividad ρ por longitud L=a, y se divide por la sección normal S.

formula 3

Movimiento de la varilla.

Como vemos en la figura, sobre la varilla actúan dos fuerzas, el peso mg y la fuerza Fm que ejerce el campo magnético sobre la corriente inducida i. Esta fuerza se opone siempre al movimiento de la varilla, como podremos comprobar.

figura 2

Cuando circula por la varilla CD una corriente i, el campo magnético B ejerce una fuerza:

formula 4

El vector unitario ut que señala el sentido de la corriente y el campo B son mutuamente perpendiculares, la longitud del conductor es a.

El módulo de la fuerza magnética es:

Fm = iBa = vB2a2/R

Su sentido es el indicado en la figura (hacia arriba, contrario al peso) la ecuación del movimiento de la varilla es:

formula 5

la fuerza magnética es proporcional a la intensidad de la corriente inducida y por tanto, a la velocidad de la varilla.

formula 6

Esta es una ecuación similar a la que describe el movimiento de una esfera que cae en el seno de un fluido viscoso, si se desprecia el empuje.

Integrando obtenemos la expresión de la velocidad en función del tiempo:

formula 7

formula 8

figura 3

La velocidad aumenta desde cero hasta un valor límite constante:

formula 9

Poniendo la masa m igual al producto de la densidad por el volumen de la varilla, y la resistencia R igual al producto de la resistividad por la longitud de la varilla dividido su sección, podemos comprobar que el valor de la velocidad máxima no depende de la longitud a ni de la sección S de la varilla.

La fórmula de la velocidad se podría haber obtenido sin necesidad de integrar la ecuación del movimiento. La fuerza magnética Fm va creciendo desde cero, hasta que su valor se hace igual al peso, mg. En ese momento, la fuerza neta sobre la varilla es cero y velocidad de la varilla se hace constante.

formula 10

Si la velocidad crece hasta alcanzar un valor límite v1, la intensidad de la corriente inducida crece hasta alcanzar un valor límite il.

formula 11

Y es independiente del valor de la resistencia R del circuito.

Una vez obtenida por integración la variación de la velocidad de la varilla con el tiempo, una segunda integración nos permite determinar la altura de la varilla con el tiempo, sabiendo que en el instante inicial parte de la altura h. La ecuación es similar a la que obtuvimos en el estudio del movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido.

Actividades.

Se introduce:

  1. El campo magnético (en gauss), que puede ser un número positivo (el campo magnético apunta hacia el lector), o negativo el campo magnético apunta hacia dentro, de sentido contrario al anterior.
  2. La longitud de la varilla (en cm), un número menor que 10.
  3. La sección de la varilla se ha fijado en 1.0 mm2.
  4. Finalmente, podemos elegir el material del que está hecho la varilla: aluminio, cobre, hierro, plomo, wolframio.
  5. Se pulsa el botón titulado Empieza.

La varilla empieza a caer desde una altura inicial de 100 cm.

Sobre la varilla se dibuja los siguientes vectores:

  • El peso mg, flecha vertical hacia abajo de color negro.
  • El campo magnético B, flecha horizontal de color azul, apuntando hacia adentro (color azul claro) o hacia afuera (color rosa) del plano del applet.
  • El sentido de la corriente inducida, flecha de color rojo a lo largo de la varilla o el sentido del movimiento de los puntos de color rojo a lo largo de la espira, que representan la corriente inducida.
  • La fuerza magnética, Fm, flecha de color negro vertical apuntando hacia arriba.

En la parte derecha del applet, se representa:

  • En color azul, la velocidad de la varilla en función del tiempo.
  • En color rojo, se representa la intensidad de la corriente inducida en función del tiempo.

El origen de esta gráfica se ha desplazado a la mitad del applet, a fin de visualizar tanto los valores positivos (en sentido contrario a las agujas del reloj) como los valores negativos (en el sentido de las agujas del reloj).

En la parte superior del applet, se proporcionan los valores numéricos de la velocidad y de la intensidad límite.

Se recomienda al lector que dibuje sobre un papel el sistema formado por la varilla y las guías, situados en un campo magnético, con el siguiente convenio:

  1. Un círculo con un punto en su interior, indica que el campo magnético es perpendicular al plano del papel que apunta hacia el lector.
  2. Un círculo con una cruz representa un campo magnético perpendicular al plano del papel que apunta hacia dentro, en sentido contrario al anterior.
  3. Razonar si el flujo aumenta o disminuye.
  4. Aplicar la ley de Lenz y dibujar el sentido de la corriente inducida.
  5. Dibujar la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente inducida en la varilla. ¿Es de sentido contrario al peso?

Ejemplo:

Sea una varilla de 8 cm de longitud y 1 mm2 de sección, que se mueve verticalmente en un campo magnético uniforme de 300 gauss, que apunta hacia el lector. Si la varilla está hecha de aluminio, determinar la velocidad límite que alcanza la varilla y la corriente inducida límite.

  • La masa m de la varilla es igual al producto de la densidad d por el volumen de la varilla de longitud a y sección S, m = d·S·a
  • Su resistencia R es el producto de la resistividad ρ por la longitud de la varilla a, dividido la sección S, R = ρ·a/S

formula 12

formula 13

Si elegimos otros materiales como el hierro o el plomo, la varilla no alcanza la velocidad límite constante, si la intensidad del campo magnético es pequeña.

Calculamos la velocidad y la intensidad en el instante t = 0.1s

formula 14

formula 15

formula 16

FemApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Elaborado en: Enero del 2004 | Ultima actualización: Enero del 2005.