Electricidad y Magnetismo.

Practicas de Laboratorio.

 

Momento angular de los campos electromagneticos: La paradoja de Feynman.

La noción de que un campo electromagnético posee un momento angular no se suele explicar en los libros de texto de Física General. La paradoja de Feynman nos permite introducir al estudiante en esta propiedad fundamental del campo electromagnético.

La paradoja de Feynman.

figura 1

Imaginemos un dispositivo como el mostrado en la figura, que consta de un disco circular delgado hecho de plástico que puede girar alrededor de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro. Se supondrá que la fricción en los apoyos de los extremos del eje es completamente despreciable.

En el centro del disco se coloca una pequeña bobina cuyo eje coincide con el eje de rotación del disco. Por la bobina pasa una corriente estacionaria de intensidad i, alimentada por una batería. En el borde del disco, y espaciadas uniformemente alrededor de su circunferencia hay un número de pequeñas esferas metálicas aisladas unas de las otras y del solenoide por el material plástico del disco. Cada una de las esferas conductoras está cargada con la misma carga q.

Inicialmente, el disco está en reposo. Supongamos que por algún accidente la corriente i en el solenoide se interrumpe. Por ejemplo, el solenoide se mantiene a muy baja temperatura de modo que el alambre del que está fabricado se hace superconductor. Cuando la temperatura se eleva por encima de la crítica, su resistencia aumenta y la corriente disminuye.

Al disminuir el flujo del campo magnético a través del solenoide se producirá un campo eléctrico inducido tangencial al perímetro del disco que actuará sobre las esferas cargadas, produciendo una fuerza, cuyo momento hará girar al disco.

Tenemos una situación similar a la descrita en la página dedicada al estudio del acelerador de partículas denominado betatrón. El campo eléctrico producido por el cambio del flujo del campo magnético en el tiempo acelera la partícula cargada.

Aplicando el principio de conservación del momento angular, podemos decir, que el momento angular inicial del sistema aislado es cero, el momento angular final del conjunto será cero. Por tanto, no debe haber rotación del disco cuando la corriente desaparezca, esta es la paradoja.

Momento angular mecánico.

Supongamos que la bobina tiene un radio a pequeño comparado con el radio R del disco. El campo producido por la bobina para puntos tales que r>a es:

formula 1

Supondremos que la corriente i en el solenoide se modifica lentamente de modo que tenemos campos electromagnéticos cuasiestáticos en todos los instantes.

figura 2

El flujo del campo magnético a través del plano infinito que contiene el disco es cero, ya que las líneas del campo magnético son cerradas. El flujo del campo magnético a través del área del disco, es igual y de signo contrario al flujo del campo magnético a través del área de la superficie del plano infinito al que se le ha restado el área del disco.

Fijarse que el cálculo directo del flujo a través del disco no es sencillo ya que no disponemos de una expresión de B para puntos en el interior de la bobina o cercanos a la misma.

Teniendo en cuenta que el momento magnético tiene la dirección del eje Z m=m·k, el campo B para los puntos del plano que contiene al disco z=0 es:

formula 2

figura 3

El flujo del campo magnético B a través del disco de radio R será:

formula 3

De acuerdo a la ley de Faraday:

formula 4

Debido a la simetría axial, el campo eléctrico E generado es constante en todos los puntos de una circunferencia de radio r, y su dirección es tangente a dicha circunferencia. El campo eléctrico E generado vale en la posición r=R del borde del disco donde se encuentran las cargas.

formula 5

Su sentido está determinado por la ley de Lenz, tal como se señala en la figura.

figura 4

El campo eléctrico E ejerce una fuerza sobre la carga puntual q, f = qE

La fuerza f tiene la misma dirección que el campo E, el mismo sentido si la carga q es positiva, y sentido contrario si la carga es negativa.

La fuerza f, produce un momento que hace girar al disco. Si la carga total Q está uniformemente distribuida en el perímetro del disco, el momento M de la fuerza que ejerce el campo eléctrico E sobre las cargas es:

formula 6

El momento de una fuerza actuando durante un tiempo modifica el momento angular del sólido en rotación alrededor de un eje fijo.

El momento angular final Lmec del disco tiene la dirección del eje de rotación, y su módulo es:

formula 7

Siendo m el momento magnético inicial.

Momento angular de los campos electromagnéticos.

La explicación de esta paradoja es que los campos eléctrico y magnético estáticos tienen momento angular. Dichos campos y el disco forman las dos partes de un sistema aislado que están acopladas por medio de las cargas en el borde del disco. Cuando cambia la corriente en la bobina, parte del momento angular almacenando en los campos se transforma en momento angular mecánico del disco.

El campo electromagnético en el vacío tiene un momento angular asociado con respecto al origen dado por la siguiente expresión:

formula 8

Donde S es el vector de Poynting y c la velocidad de la luz en el vacío.

Después de algunas operaciones, cuya dificultad supera la de un curso introductorio de Física, se llega al resultado de que el momento angular del sistema formado por el disco y el campo electromagnético.

Lem + Lmec = 0

Como cabe esperar del principio de conservación del momento angular. Una parte del momento angular electromagnético se convierte en momento angular mecánico.

Si solamente están presentes las cargas, hay campo eléctrico pero no magnético, el momento angular L vale cero. Si solamente está presente la bobina por la que circula una corriente estacionaria, hay campo magnético pero no hay campo eléctrico, el momento angular es también cero. Cuando ambos campos están presentes el momento angular no es nulo.

Una deducción alternativa, se fundamenta en la fuerza que ejerce el campo magnético producido por la bobina sobre una carga puntual q que se trae desde el infinito hasta el borde del disco.

Supongamos que tenemos la bobina por la que circula una corriente estacionaria y las cargas eléctricas están en el infinito, no hay por tanto, momento angular. Movemos las cargas desde el infinito radialmente hacia el borde del disco con velocidad constante v.

Cuando una carga puntual q está a una distancia y del centro del disco, experimenta una fuerza f debido al campo magnético B producido por la bobina.

figura 5

formula 9

formula 10

La dirección y sentido de la fuerza f están señalados en la figura.

Para mover la carga q con velocidad constante hemos de ejercer una fuerza exterior fext = -f. Esta fuerza produce un momento respecto del origen (el brazo de la fuerza es y), r = yj

formula 11

El momento angular que almacena el campo electromagnético será:

formula 12

Siendo v·dt = -dy. El vector Lem tiene la dirección del eje Z, y es independiente de la velocidad v con que se mueve la carga desde el infinito hasta el borde del disco.

Nota:
una carga q al moverse con velocidad v produce un campo magnético, pero este campo no produce una fuerza sobre dicha carga en movimiento.

Simulación.

La bobina se puede conectar o desconectar de la batería.

1. Cuando la batería se conecta a la bobina, la corriente en la bobina crece hasta que se alcanza un valor constante i0 después de un tiempo teóricamente infinito, en la práctica viene determinado por la constante de tiempo t del circuito.

formula 13

2. Cuando la batería se desconecta de la bobina, la intensidad de la corriente no cae súbitamente a cero, sino que decrece exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero después de un tiempo teóricamente infinito, en la práctica viene determinado por la constante de tiempo t del circuito.

formula 14

El momento magnético de la bobina es m = i·Npa2, donde N es el número de espiras, y a es el radio de las espiras.

El momento magnético m tiene el mismo comportamiento que la intensidad i. La razón de su cambio con el tiempo es:

formula 15

El signo positivo se obtiene cuando se conecta la batería a la bobina, y el negativo cuando se desconecta.

El momento de las fuerzas que ejerce el campo eléctrico generado sobre las cargas situadas en el bode del disco, lo podemos escribir:

formula 16

Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación, obtenemos el valor de la aceleración angular a, siendo Ic es el momento de inercia del disco.

formula 17

Integrando con respecto del tiempo, obtenemos la velocidad angular de rotación.

formula 18

La velocidad angular final ωf = kt y el momento angular L no dependen de la constante de tiempo t, y valen en módulo.

formula 19

El último factor, es el momento magnético inicial m = i0·Npa2

Integrando la velocidad angular ω respecto del tiempo obtenemos la posición angular θ.

formula 20

Cuando se alcanza la velocidad angular constante ωf = kt, el movimiento del disco es uniforme.

Actividades.

Se introduce:

  1. La constante del tiempo t, en el control de edición titulado Cte. tiempo.
  2. El radio del disco R, en el control de edición titulado Radio disco.
  3. El número de cargas puntuales que se sitúan en el bode del disco, eligiendo un número en el control de selección titulado Número de cargas.

El programa interactivo ha fijado, los valores de:

  • El momento magnético inicial de la bobina i0·Npa2.
  • La carga q de cada una de las pequeñas esferas conductoras situadas en el borde del disco. La carga total es Q = n·q.
  • el momento de inercia Ic del disco.

Se activa los botones de radio que indican:

  • Bobina conectada o desconectada de la batería.
  • Carga positiva o negativa.

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Se observa el movimiento de rotación del disco. En la parte superior derecha, se proporcionan los valores del tiempo t y de la velocidad angular de rotación ω en unidades arbitrarias.

Observaremos que:

  • La velocidad angular tiende hacia un valor límite constante.
  • La velocidad angular final es proporcional al número de cargas n.
  • La velocidad angular final es inversamente proporcional al radio R (se supone que el momento de inercia Ic es constante e independiente del radio R)

Se muestra mediante vectores:

  • El momento magnético m en el centro de la bobina. Aumenta cuando se conecta la batería y disminuye cuando se desconecta.
  • El campo eléctrico E, en la posición de una de las cargas en el borde del disco.
  • La fuerza que ejerce dicho campo sobre una de las cargas positivas (en color rojo) o negativas (en color azul).

Se aconseja al alumno:

  1. Determinar el sentido del campo E, aplicando la ley de Lenz.
  2. Determinar el sentido del momento M de las fuerzas sobre las cargas (o de la rotación del disco), compararlo con el proporcionado por el programa interactivo.
FemApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1  

Un caso sencillo de momento angular de los campos electromagnéticos.

figura 6

El modelo de Feynman es atractivo, pero presenta cierta dificultad a la hora de calcular el momento angular de los campos electromagnéticos. En este apartado se propone un modelo simple que permite demostrar que la suma del momento angular mecánico Lmec y electromagnético Lem es cero, verificándose el principio de conservación del momento angular.

El sistema se muestra en la figura y consiste esencialmente en dos conductores cilíndricos coaxiales de radios a y b, (a>b) y de longitud l, que está en una región en la que existe un campo magnético uniforme B paralelo al eje de los cilindros. Dos placas circulares conductoras de radios a y b y de espesor d, conectan cada cilindro a un cable coaxial.

Inicialmente los conductores cilíndricos están descargados y en reposo, el momento angular inicial es cero. Se conectan a una batería situada en el exterior tal como se indica en la figura. La carga va aumentando poco a poco, hasta que al cabo de un cierto tiempo (teóricamente infinito) los conductores cilíndricos adquieren cargas iguales opuestas -Q y +Q respectivamente.

Momento angular mecánico.

En el instante t, la intensidad que circula por los cables coaxiales es i(t).

El campo magnético ejerce una fuerza sobre las corrientes radiales que fluyen desde el borde de las placas circulares hacia los cables coaxiales en la placa superior, y a la inversa en la inferior.

La fuerza que ejerce un campo magnético B sobre una porción de corriente por la que circula una intensidad i es:

formula 21

El vector densidad de corriente J tiene la dirección y sentido del vector unitario ut y se define como:

formula 22

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente de intensidad i la podemos escribir en términos del vector densidad de corriente J.

formula 23

Y el momento de dicha fuerza respecto del eje de rotación.

formula 24

figura 7

La corriente i que entra en la placa circular inferior atraviesa áreas concéntricas de radio r cada vez mayores.

El vector densidad de corriente J = i/(2prd), y tiene dirección radial y sentido hacia fuera en la placa circular inferior, y hacia el centro en la placa circular superior.

Las figuras indican la dirección y el sentido del momento M para la placa circular inferior. Para la placa circular superior el sentido de M es el contrario.

figura 8

Teniendo en cuenta que el volumen de la capa cilíndrica (en color amarillo) de espesor d comprendida entre r y r+dr es dV = 2prdr·d. El momento Mb de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre la corriente i en la placa inferior es:

formula 24

Para la placa circular superior el momento Ma se calcula de forma similar dando:

formula 25

El momento total es M = Ma-Mb = iB(a2-b2)/2.

La dirección de M es la del eje de rotación y su sentido positivo (hacia arriba).

El momento mecánico angular final es:

formula 26

Donde Q es la carga final de los conductores (véase carga de un condensador).

Como a>b el momento angular mecánico tiene la dirección del eje de rotación y sentido positivo (hacia arriba).

Momento angular del campo electromagnético.

figura 9

Hemos calculado, aplicando la ley de Gauss, el campo eléctrico producido por dos conductores cilíndricos coaxiales de longitud l y de radios b y a cargados con carga Q iguales y opuestas.

  • r<b el campo E=0.
  • r>a el campo E=0.
  • b<r<a el campo E = Q/(2Πrle0).

En la región comprendida entre los dos conductores cilíndricos hay dos campos:

  • El campo eléctrico que tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro.
  • Un campo magnético uniforme paralelo al eje de los cilindros.

El módulo del vector de Poynting S = E×B/µ0 vale

formula 27

figura 9

En la figura, se señala la dirección y el sentido del vector S.

El momento angular electromagnético es:

formula 28

Teniendo en cuenta que el volumen de integración es el volumen de la capa cilíndrica de longitud l comprendida entre a y b, y que el elemento de volumen dV = 2Πrl·dr. Recordando que c es la velocidad de la luz en el vacío y 1/c2 = e0·µ0.

El módulo del momento angular Lem es:

formula 29

figura 10

La dirección de Lcm es la del eje de rotación y su sentido negativo (hacia abajo).

Hemos comprobado por tanto, el principio de conservación del momento angular:

Lmec+Lem = 0

El momento angular inicial y final del sistema formado por los dos cilindros coaxiales, y sus correspondientes placas circulares y el campo electromagnético es cero.

Elaborado en: Enero del 2004 | Ultima actualización: Enero del 2005.