Electricidad y Magnetismo.

Practicas de Laboratorio.

 

Varilla que se mueve en un campo magnetico uniforme (ii).

En el tema anterior hemos aplicado la ley de Faraday a un circuito constituido por una varilla que se mueve con velocidad constante sobre raíles paralelos en el seno de un campo magnético uniforme y perpendicular al plano del circuito.

figura 1

En este tema, vamos a estudiar de nuevo, el movimiento de la varilla de longitud L, y masa m, que se mueve sin fricción sobre dos raíles paralelos. Una batería cuya diferencia de potencial es V0, los dos raíles y la varilla deslizante constituyen un circuito cerrado.

En presencia de un campo magnético uniforme B, perpendicular al plano del circuito, la barra se acelera por la fuerza de Lorentz hasta que alcanza una velocidad límite constante.

Supondremos que los raíles son superconductores, para que el problema no sea complicado de resolver. De otro modo, se introduciría un término no lineal (al aumentar la longitud del circuito) en las ecuaciones del movimiento de la varilla.

Descripción.

Ecuación del circuito.

figura 2

A medida que se mueve la varilla, aumenta el área, y aumenta el flujo del campo magnético a través del circuito formado por los rieles y la varilla. La fem inducida Ve de acuerdo a la ley de Faraday vale:

formula 1

El flujo Φ = B·S = -B·a·x

Derivando el flujo Φ respecto del tiempo y cambiando de signo:

Ve = B·a·v

Siendo a la distancia entre los raíles, menor que la longitud L de la varilla, y v la velocidad de la varilla.

De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la suma de fems es igual al producto de la intensidad por la resistencia total del circuito.

figura 3

-Ve + V0 = iR

La corriente producida por la batería tiene el sentido de las agujas del reloj, mientras que el sentido de la corriente inducida, de acuerdo a la ley de Lenz, es contrario a las agujas del reloj, de ahí que los signos de Ve y V0 sean contrarios.

 

Ecuación del movimiento de la varilla.

figura 4

Una corriente i que circula por la porción de varilla de longitud a, experimenta una fuerza F en el seno de un campo magnético uniforme B.

F = i·utxB·a

Donde ut es un vector unitario que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga (positivos).

Como el campo magnético B es perpendicular a la varilla. El módulo de F es:

F = iBa

Es un vector paralelo a los raíles y cuyo sentido es hacia la derecha, tal como se señala en la figura.

Si despreciamos la fuerza de rozamiento entre la varilla y los raíles, la ecuación del movimiento de la varilla de masa m es:

formula 2

O bien:

formula 3

1. Velocidad de la varilla.

La ecuación del movimiento se escribe:

formula 4

Con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t = 0, v = 0.

formula 5

formula 6

La velocidad aumenta desde cero, hasta que alcanza un valor límite constante vf en un tiempo teóricamente infinito.

Un comportamiento similar al de una esfera que se mueve en el seno de un fluido viscoso.

2. Intensidad de la corriente.

Conocida la velocidad v determinamos la intensidad i de la corriente que circula por el circuito.

formula 7

La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. Se hace cero al cabo de un tiempo teóricamente infinito, en la práctica viene determinado por el valor de la constante de tiempo k.

3. Posición de la varilla.

Integrando con respecto del tiempo la expresión de la velocidad v, obtenemos la posición x de la varilla en función del tiempo t, con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t = 0, la varilla parte del origen x = 0.

formula 8

Estudio energético.

La energía suministrada por la batería entre el instante inicial t = 0 y el instante t es:

formula 9

La energía disipada en la resistencia durante ese mismo tiempo es:

formula 10

La energía cinética de la varilla en el instante t es:

formula 11

Como podemos comprobar:

E0 = ER + Ek

Una parte de la energía suministrada por la batería se disipa en la resistencia y la otra parte, se convierte en energía cinética de la varilla. Al cabo de un tiempo teóricamente infinito, la mitad de la energía suministrada por la batería se ha disipado en la resistencia y la otra mitad se ha convertido en energía cinética.

Actividades.

Se introduce:

  1. El campo magnético B (en gauss) en el control de edición titulado Campo magnético.
  2. La distancia entre los raíles a (en cm), en el control de edición titulado Distancia raíles.
  3. El material del que está hecho la varilla que desliza, en el control de selección titulado Material.
  4. La diferencia de potencial V0 entre los terminales de la batería, se ha fijado en el programa y es de 0.001 V.
  5. La longitud de la varilla L se ha fijado en 50 cm.
  6. Se pulsa el botón titulado Empieza.

El programa nos proporciona los datos de la densidad y resistividad de los materiales:

Tabla de datos de Densidad y Resistividad.
Material Densidad ρ (103 kg/m3) Resistividad r (10-6Ω·m)
Aluminio 2.7 0.028
Cobre 8.93 0.0175
Hierro 7.88 0.098
Plata 10.5 0.016
Volframio 19.34 0.055
Plomo 11.35 0.221

Ejemplo:

Elegimos como material el Aluminio.

Introducimos:

  • El valor del campo magnético B = 100 gauss = 0.01T
  • La distancia entre raíles a = 40 cm = 0.4
  • La masa de la varilla es m = ρ·L·S
  • La resistencia de la porción de varilla comprendida entre los contactos con los rieles es R = r·a/S

Siendo S la sección de la varilla.

La constante de tiempo k vale:

formula 12

La velocidad final vf de la varilla es:

formula 13

Como podremos observar, al cabo de unos pocos segundos la varilla alcanza una velocidad constante, la intensidad tiende a cero.

Al lado de la varilla se dibujan los vectores campo magnético B, el vector ut que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga. El vector fuerza F que ejerce el campo magnético sobre la corriente i que circula por la varilla.

  • El campo magnético es constante.
  • La intensidad i disminuye con el tiempo, hasta que se hace cero.
  • La fuerza tiende a cero, y la velocidad de la varilla se hace constante e igual a la velocidad límite vf.

La intensidad viene indicada por el movimiento de puntos de color rojo (portadores de carga positivos) a lo largo del circuito constituido por la batería, los raíles y la varilla.

A la izquierda del applet, un diagrama nos señala en cada instante t:

  • La energía cinética Ek de la varilla (un sector en color azul).
  • La energía disipada en la resistencia ER (un sector en color rojo).
  • La suma de ambas, que es la energía suministrada por la batería, EB, el círculo completo.

En la parte superior izquierda del applet, se nos proporciona los datos relativos:

  • El instante t en s.
  • La posición x de la varilla en cm.
  • La velocidad v de la varilla en cm/s.
FemApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Elaborado en: Enero del 2004 | Ultima actualización: Enero del 2005.