1.4           LEY DE GAUSS

 

En esta sección se describe la Ley  de Gauss para  calcular  campos eléctricos  basada  en el hecho  de que la fuerza  electrostática    entre cargas  puntuales  se aplica la  ley  del inverso al cuadrado. El  método es conveniente  al  calcular  el campo eléctrico de distribuciones  de carga  simétricas.

 

1.4.1        Flujo Eléctrico

Figura 1.3Figura 1.3

El concepto  de lineas  de campo  eléctrico parte de una  descripción  cualitativa en el cual se  utiliza el concepto  de flujo eléctrico, el cual  se representa  por medio  del numero de lineas  de campo eléctrico que penetran  alguna  superficie. Cundo la  superficie  que se esta penetrando contiene   carga  neta,  el numero neto de lineas  que atraviesa la superficie  es proporcional  a la carga  neta  dentro  de la superficie. El numero  de lineas  es independiente  de la superficie  que encierra  a la carga. Esto es en esencia un enunciado  de la ley de Gauss.

Considere primero  un campo eléctrico   uniforme  en magnitud y dirección como el de la figura 1.3, las lineas de campo eléctrico penetran  en una superficie rectangular  de área A, la cual es perpendicular al campo. Recuerde  que el numero de lineas por unidad de área es proporcional  a la magnitud  del campo eléctrico. Por lo tanto, el numero  de lineas que penetran la superficie es proporcional  al producto EA. Este producto  recibe  el nombre  de flujo eléctrico . Cuyas unidades  son,  N m2/C

 

 

Si la superficie considerada no es perpendicular  al campo, el numero de lineas a través de ella  debe  ser menor  que el dado por la ecuación , ver figura 1.3.1 donde la normal a la superficie  del área forma  un ángulo con el campo eléctrico uniforme, el numero delineas que cruzan el área A’,  la cual es perpendicular al campo, A’= A cos y el flujo será  

 

 

Figura 1.3.1Figura 1.3.1

De este resultado  vemos  que el flujo a través de una superficie  de área  fija  tiene  el valor máximo EA, cuando la superficie es perpendicular  al campo, el flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo .

Figura 1.3.2Figura 1.3.2

Esta definición solo puede aplicarse  áreas pequeñas. Cuando consideramos una superficie  l dividida  en un gran numero  de elementos  cada uno de área , las variaciones en el campo  sobre el elemento  pueden  ignorarse  si el elemento es muy pequeño. Es conveniente  definir  un vector cuya magnitud represente  el área  del i-esimo  elemento y cuya dirección  se  define  como perpendicular  ala superficie,  como se muestra en la figura 1.3.2 el flujo  eléctrico a través  de este elemento  es al sumar todas las contribuciones  de los elementos  se obtiene  el flujo total a través  de la superficie. Si el  área de cada elemento  tiende a cero, entonces  el numero  de elementos  tiende a infinito  y la suma se sustituye  por una integral  

 

Esta formula  contiene  una integral de superficie l que ha de  ser evaluada,    depende  del patrón  del campo y de la superficie. El flujo se evalúa  a través de una superficie cerrada, la cual se define como una superficie  que divide el espacio en  región interior y   exterior, y   no se puede mover  de una región  a otra  sin cruzar  la superficie. La superficie  de una esfera es un superficie cerrada. En la figura 1.3.3 los vectores apuntan  en  diferentes  direcciones  en los  diversos  elementos  de superficie, pero en  cada punto son normales y siempre están hacia fuera.

o       En el elemento 1 las líneas cruzan la superficie  de adentro hacia afuera <90° y el flujo es positivo.

o       En el elemento 2 las líneas cruzan la superficie =90° y el flujo es cero.

o       Para el elemento 3 las líneas entran atravesando  la superficie  de afuera a adentro 180°< >90° y el flujo es negativo.

o       El flujo neto es  proporcional al numero neto de líneas que abandonan la superficie.

 

Ø      Numero neto significa  el numero de líneas que abandonan  la superficie  menos  el numero de líneas  que entran  ala superficie

Ø      Si salen mas líneas  de las que entran  el flujo neto es positivo

Ø      Si entran mas líneas de las que salen el flujo es negativo

Ø      Formula del flujo neto  en una superficie cerrada  es

    

 

Donde  representa  la componente  de campo eléctrico normal  a la superficie

 

 

Ejemplo 1.4.1

Figura 1.3.3Figura 1.3.3

Enunciado:Considere un campo eléctrico  uniforme E orientado en la dirección x. Encuentre  el flujo  eléctrico a través de la  superficie  de un cubo de lados l  orientado como se indica en la figura 1.3.3.

Incognita:

Conocimientos previos:

 

Solución

El flujo  es la suma  de los  flujos  a través  de case  cara del cubo. Se observa que  el flujo  a través  de cuatro caras, en las 3 y 4 y opuestas  es cero porque el campo es perpendicular  a dA en estas caras

El flujo en las caras 1 y 2  es : en la cara 1 el campo es constante  y va dirigido  hacia  adentro, en tanto que dA se dirige  hacia fuera = 180º, el flujo atraves de esta cara  es:

 

Para 2 es constante y apunta  hacia  afuera  y  en la misma  dirección  que dA( = 0º)y el flujo se obtiene   de:

 

E flujo total es :

 

 

 

1.4.2 Ley de Gauss

Esta ley describe la relación general  entre  el flujo eléctrico a través de una superficie  cerrada llamada  superficie Gaussiana y la carga  encerrada  por la superficie. Esta relación es fundamental ene el estudio  de los campos eléctricos.

 

Considere  una carga  puntual positiva  localizada  en el centro de una esfera  de radio r. De acuerdo  con la ecuación  se sabe que la magnitud  del campo en cualquier punto  sobre la superficie  de la esfera  es   ,  las líneas  de campo  apuntan radialmente hacia  afuera y por ello  son perpendiculares a la superficie  en cada punto de la misma. significa que en cada punto, E es paralelo  al vector , que representa  al elemento  de área local que rodea  al punto superficial por lo cual; . El flujo en la superficie Gaussiana  se encuentra con la siguiente formula

, si sustituimos k  obtenemos .

Figura 1.3.4Figura 1.3.4

En esta ultima ecuación el flujo   de la superficie esférica  es proporcional  a la carga interna. El flujo es independiente  del radio porque  el área  de la superficie  esférica es proporcional a r2, mientras que el campo eléctrico es proporcional  al inverso de r2.

 

v     Al considerar  varias superficies  cerradas  que rodean   una carga q como se ve en la figura 1.3.4. la superficie s1 es esférica, en tanto que la superficie s2  y s3  no lo son.  el flujo que pasa  por s1 vale , el flujo es proporcional al numero de líneas de campo que atraviesan la superficie, la figura muestra que el  numero de líneas que atraviesan s1 es igual al numero  de líneas que atraviesan las superficies no esféricas s2 y s3, se concluye que el flujo en una   superficie  cerrada es independiente  de la forma de la superficie.

v     Figura 1.3.5Figura 1.3.5

 

Al considerar  una carga puntual  fuera de la superficie  cerrada como en la figura 1.3.5 se observa, que cualquier línea  de campo  que entra  a la superficie  es igual  al numero de las que salen, entonces el flujo  a través  de una superficie  Gaussiana  que  no rodea  una carga  es cero.

 

Los  dos  argumentos se pueden  aplicar  a los siguientes casos

 

v     cuando se tienen muchas cargas puntuales

v     cuando la carga es la de una distribución continua

 

en ambos casos se usa el principio de superposición

 

 

Figura 1.3.6Figura 1.3.6

En la figura 1.3.6 se tiene un sistema de cargas  donde

v    La superficie  S rodea  solo una carga q1 por lo que el flujo  en s es:

v     el flujo  a través de S debido  a las cargas q2 y q3  es cero

v    La superficie S’ rodea las cargas q2 y q3 y el flujo es

v      En la superficie S’’  el flujo es cero por que  no hay cargas dentro de esta superficie

La ley de Gauss  establece que el flujo  a través de cualquier superficie  se puede obtener  con la  ecuación:  

 

Ejemplo 1.4.2

Enunciado: Una superficie  esférica  rodea  una carga  puntual q  describa  que sucede  con el flujo a través  de la superficie  si,

a)      La carga  se triplica

b)     El radio de la esfera se duplica

c)      La superficie se  cambia  aun cubo

d)      La carga  se coloca  en otra  posición dentro  de la superficie

pregunta:

Datos:

Conocimientros previos:

Solución

a)      el flujo  a través  de la  superficie  se triplica, ya que  el  flujo es proporcional  ala  cantidad de carga  dentro  de  la superficie

b)      el flujo no cambia  porque todas  las lineas  de campo  desde la carda  pasan  a través  de la esfera, sin  importar el radio dela misma

c)      el flujo no cambia  cuando lo hace la forma  de la  superficie  Gaussiana, ya  que todas las lineas  de campo  desde la carga  pasan  a través  de la  superficie, sin  importar  la  forma de la misma

d)      el flujo  no cambia  cuando  la carga  se mueve  a otra  situación dentro  de esa superficie, pues  la ley  de  Gauss  se  refiere  a la  carga  total encerrada, sin importar  donde  se ubica la carga  dentro de la superficie.

 

 

1.4.3 La ley de Gauss  Aplicada a  Aislantes Cargados

La ley de Gauss  es útil al determinar  campos en superficies con alto grado de distribución de carga, a continuación se muestra la manera de elegir las superficies. Al elegir las superficies se debe sacar ventaja  de la simetría  de la distribución de carga para que se pueda elimina a  E  de la integral y resolverla y  se debe cumplir una o mas de las  siguientes condiciones:

 

  1. El valor  del campo  puede  considerarse  por simetría como constante  sobre toda la superficie
  2. El producto punto  en la ecuación  de la ley de Gauss  puede expresarse  como un producto algebraico  simple EdA,  E y dA son paralelos
  3. El producto punto  en la ecuación de la ley de gauss  es cero por que E y dA  son  perpendiculares
  4. El campo sobre la superficie es cero

 

Ejemplo 1.4.3

Enunciado: A partir de la ley de Gauss  calcule  el campo eléctrico  debido  a una carga  puntual  aislada q.

Incognita:

  • El campo electrico debido a una carga electrica puntual.
Datos:
  • La ley de gauss.

Conocimientros previos:

Solución

Una sola carga  representa  la distribución  de carga  mas simple  posible, se elige una superficie Gaussiana  esférica  de  radio r  y centro en la carga puntual, como se ve en la figura 1.3.7. el campo  debido a una carga puntual  positiva  apunta  radialmete  hacia  afuera  por simetría  y es, y es  por tanto, normal ala  superficie  en cada  punto.  E es paralelo  a dA en cada punto. Por lo cual

Por simetría  E es  constante   en todos los puntos  sobre  la superficie,  lo cual satisface  la condición 1, así que puede sacarse de la integral

 

en donde  se a aprovechado el hecho  de que  el área  de la  superficie  de una  esfera  es conocida, ahora se  resuelve para  el campo  eléctrico: 

 

,  este  es  el campo eléctrico  conocido  debido a una  carga puntual   que se desarrolla a partir de  la ley de Coulomb.

 

  

Ejemplo 1.4.4

Enunciado: Una esfera  sólida  aislante  de radio  a  tiene  una  densidad  de  carga volumétrica  uniforme  y lleva  una  carga  positiva  total Q.

a) Calcule  la magnitud  del campo  eléctrico  en  un punto  fuera de la esfera

incognita:

  • El campo electrico debido a una carga electrica puntual.
Datos:
  • La ley de gauss.

Conocimientros previos:

  • Comprension de la ley de gauss y sus aplicaciones en el calculo del campo electrico.
  • Comprender que es una carga puntual aislada.

Solución

Figura 1.3.7Figura 1.3.7

 Puesto  que la  distribución de carga  es simétrica esfericamente,  seleccione  de nuevo  una  superficie  Gaussiana  esférica de radio r,  concéntrica  con la esfera, como se muestra  en la figura  1.3.7 a para esta condición las  condiciones 1 y2  se satisfacen. Siguiendo la línea de razonamiento  seguida hasta el momento  se encuentra que

 

Y nos permite concluir que para una esfera  cargada uniformemente, el campo  en la región  externa  a la esfera  es equivalente  ala de una carga puntual  localizada  en el centro de la esfera.

b) Encuentre la magnitud  del campo  eléctrico  en un  punto  dentro de la esfera

 

Solución

En este caso se elige una superficie Gaussiana   esférica  con radio r < a, concéntrica  con la esfera  aislada fig1.3.7. exprese el  volumen de esta  esfera  más pequeña mediante V’. Para aplicar la ley de Gauss  en esta situación  es importante  observar  que la carga qin  dentro  de la superficie  Gaussiana  de volumen  v’  es menor  que  Q. Para calcular  la carga qin  aproveche  el hecho  de que . Por  simetría,  la, magnitud  del campo  eléctrico  es  constante  en  cualquier punto de la superficie  Gaussiana  esférica  y  es normal a la  superficie  en  cada  punto las condiciones 1 y 2 se cumplen. Por lo tanto  la ley de Gauss  en la región r < a  produce

 

, al despejar e se obtiene

 

 

,  puesto que por definición, , y dado que , esta expresión para  E  puede escribirse  de la  siguiente  manera:

Figura 1.3.8 ,  para r < a. Este resultado para E  difiere  del  obtenido  en el inciso  a)  esto muestra que  si E tiende  a cero   a medida que  r tiende  a cero. En consecue4ncia, el resultado  elimina  el problema en  r = 0 si E  varia como 1/r2  dentro de la esfera como lo hace fuera la misma las expresiones para  a y b  son equivalentes cuando r = a, la relación de E contra  r  se nuestra en la siguiente figura 1.3.8.

 

 Figura 1.3.8

 

Ejemplo 1.4.5

Figura 1.3.9Figura 1.3.9.a

Enunciado: Un cascaron esférico  delgado  de radio a  tiene  una carga  total Q distribuida  uniformemente  sobre  su  superficie fig1.3.9a. encuentre  el campo  eléctrico en  puntos

a)  fuera  y,

b) dentro  del cascaron.

Incognita:

  • El campo electrico dentro y fuera del cascaron.
Datos:
  • Un cascaron delgado de radio a con carga Q distribuirda uniformemente sobre su superficie.

Conocimientros previos:

  • Aplicacion de la ley de gauss en campos electricos para cascarones.
  • Calculo de area para superficies esfericas, integrales de superficie cerrada.

Solución

a) El calculo  del campo  fuera  del cascaron  es  idéntico  al ya realizado para la esfera sólida.

Si se construye una superficie Gaussiana  esférica de radio r > a, concéntrica   con el cascaron fig. b

La carga  dentro de esta  superficie  es Q.  En consecuencia, el  campo  en un  punto  fuera  del cascaron  es equivalente  al de  una carga puntual q ubicada  en  el centreo   

, para r > a

 

b) El campo eléctrico   dentro  del cascaron  esférico  es cero. Esto se  desprende  de la ley  de gauss aplicada  a una  superficie  esférica  de radio r < a  concéntrica  con el   cascaron. fig. c,  debido a la  simetría  esférica  de la  distribución  de carga,  y a la carga  dentro de la superficie  es  cero, lo que satisface   las condiciones 1 y 2. La aplicación de la ley de gauss  demuestra que  E = 0  en la región r < a. Los mismos resultados se pueden obtener  con la ecuación  , e integrando sobre la  distribución de carga. Este calculo es mucho mas complicado. Este calculo es muy complicado y la ley de gauss permite  determinar  estos resultados  de una manera  mas  sencilla.

 

 

 

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