1.6              EL CAMPO ELÉCTRICO

 

Figura 1.5.1Figura 1.5.1

La fuerzas conocidas  de la Gravitación  y la Eléctrica actúan  a través  del espacio produciendo efectos sin que exista contacto físico  entre los objetos. Un campo  eléctrico  existe  en la región del espacio  que rodea a un objeto cargado. Cuando otro objeto cargado se acerca  al campo eléctrico, las fuerzas eléctricas actúan sobre el   fig.1.5.1 en el cual se muestra  una pequeña  carga  positiva  de prueba q0 colocada cerca de un segundo objeto portando una carga positiva Q mucho mayor. La intensidad del campo eléctrico  en la ubicación  de la carga  de prueba  de prueba  se define  como  fuerza eléctrica por unidad de carga. El campo eléctrico es análogo  al campo gravitatorio.

 

El campo eléctrico (E) en un punto en el espacio se define como la fuerza  eléctrica F que actúa  sobre  una carga  de prueba  positiva qo colocada en dicho punto, dividida ente la magnitud  de la carga  de prueba.

 

Formula del Campo Eléctrico

 

,  (N/C)  Newton /Coulomb,

Ø      E es el campo producido  por alguna  carga externa  a la  carga de prueba,

Ø      El campo eléctrico es una propiedad  de la fuente, por ejemplo el electrón pose carga propia y por lo tanto  pose un campo eléctrico en su alrededor.

Ø      La dirección  del vector E  es la dirección de la fuerza  que experimenta la carga  de prueba  positiva  cando se coloca en el campo.

Ø      Un campo eléctrico  existe en un punto si una carga  de prueba  en reposo situada  en ese  punto experimenta  una  fuerza  eléctrica.

Ø      Cuando la magnitud  y la dirección del E se conocen en algún punto, la fuerza  ejercida  sobre  cualquier  partícula  cargada  ubicada en ese punto puede calcularse con la ecuación

Ø      El E existe siempre independientemente  de si  una  carga  de prueba  se localiza en ese punto o no.

Los campos eléctricos los podemos observar en :

 

Figura 1.5.2

Ø      La fuerza que atrae a los papelitos  cundo frotamos una pluma de escribir  con alguna tela sintética

Ø      En globos frotados en el cabello

Ø      En la pantalla dela televisión

Ø      En los monitores de la computadora 

Ø      Fotocopiadoras

Ø      Chispas en el aire

 Figura 1.5.2

Cuando se aplica la ecuación , se supone que la carga de prueba es muy pequeña y que no interfiere con la distribución de carga que produce el campo eléctrico

 

Figura 1.5.3 Figura 1.5.3

 

 

 

 

 

Figura 1.5.4Figura 1.5.4

Para  determinar la dirección  del campo eléctrico considere una carga puntual q, localizada  a una distancia  r  de una carga de prueba qo ubicada en un punto P, como se ve en la figura 1.5.4. La fuerza ejercida por q  sobre la carga de prueba   se  puede calculara con:

 

Si q  es positiva  , como  en la fig.1.5.4.a, el campo eléctrico  es radial hacia fuera. Si q es negativa fig.1.5.4.b, el campo es radial hacia adentro.

Para calcular el campo eléctrico en un punto P  debido diferentes cargas puntuales , se calculan en forma individual los vectores en P y luego se suman vectorialmente. El principio de superposición de campos se basa en la  superposición  de fuerzas eléctricas, el cual pude expresarse   con la formula siguiente;

.. . .   

Figura 1.5.5Figura 1.5.5

Ejemplo 1.6.1 Enunciado: Una carga q1 = 7x10-6 C se ubica  en el origen y una  segunda  carga q2 = -5x10-6 C se ubica  en el eje  x  a 0.30 m  del origen. Encuentre  el campo eléctrico en el punto P, el cual tiene  coordenadas (0, 0.40) m

 

incognita:

  • el campo electrico en el punto P.
Datos:
  • q1 y q2

Conocimientros previos:

  • que se ubica en el eje x.

Solución

Comenzar por encontrar la magnitud  del campo  eléctrico en P  producido por la carga. Los campos E1 producidos  por  la carga  de 7.0x10-6 C  y E2  debido  a la carga  de –5x10-6 C se muestran  en la  figura  y sus magnitudes son:

El vector  E1  tiene solo una componente y. El vector E2 tiene  una componente x  dada  poe E2 cos = (3/5) E2 y una componente y negativa por –E2 sen = -(4/5)E2.,por tanto  se puede expresar el vector  como:

E1 =3.9x105j N/C

E2 = (1.1x105i-1.4x105 j) N/C

 

El campo resultante  E en P  es la superposición  de E1 y E2

E = E1 + E2 = (1.1x105 i + 2.5x105 j) N/C

 

 De cuerdo con este resultado  se encuentra que e tiene una  magnitud  de 2.7 x 105 N/C y forma  un ángulo    de 66º con el eje x positivo

 

Figura 1.5.6 Ejemplo 1.6.2 Enunciado: Un dipolo eléctrico  se define  como  una carga  positiva  q  y una  carga  negativa –q separadas  por alguna  distancia. Para el dipolo mostrado en la figura 1.5.6 determine  el campo eléctrico E en P debido a estas  cargas , donde P esta   a una distancia  y >> a  desde el origen.

incognita:

  • determinar el campo electrico.
Datos:
  • que es un dipolo electrico?

Conocimientros previos:

  • q positiva y q negativa.

Solución

En  P los  campos E1 y E2 debidos  alas  dos cargas  son iguales  en magnitud , ya  que  P es  equidistante  de las  cargas. El campo total es E =E1 + E2, donde;

las componentes  y  de E1 y E2  se cancelan  entre si  y las  componentes x son  iguales, pues  ambas  están  a lo largo del eje x.  En consecuencia , E es paralela  al eje  x  y tienen una  magnitud igual a 2e cos . En la figura  se ve  que;

 

cos = a / r =  a / ( y2 + a2 )1/2   por consiguiente

puesto que y >> a, se puede  ignorar a2 y decir  que

de este modo, se ve  que  a distancias lejanas  del dipolo pero  alo largo del  bisector  perpendicular de la línea  que une las  dos cargas, la  magnitud del campo eléctrico creado por el dipolo varia  con 1/r3, en tanto  que el campo de variación  mas lenta  de una carga  puntual varia  con 1/r2 . esto es porque  en puntos  alejados los  campos  de las  dos  cargas  es porque  en puntos alejados  los campos  de las  dos cargas  iguales  en magnitud y opuestos  en signo se cancelan entre si, la variación de 1/r3  en E  para  el dipolo se obtiene  también  para un punto distante  a lo largo del eje  x  y para cualquier punto distante en general. El dipolo eléctrico es  un buen modelo  de muchas  moléculas, como el ácido clorhídrico, los  átomos  y moléculas  neutros  se comportan  como  dipolos  cuando se ponen  en un campo eléctrico externo

 

1.6.1        El Campo Eléctrico en una Distribución  de carga Continua.

Figura 1.5.7Figura 1.5.7

La distancia  entre cargas  en un grupo de cargas es pequeña  con respecto  a algún punto donde se desea conocer el efecto  del campo eléctrico, en este caso  el grupo de cargas  se considera como una sola carga distribuida  en una línea recta, superficie o volumen. Para calcular este campo  eléctrico seguiremos los pasos siguientes:

 

Dividir la carga  en pequeños elementos  como se muestra en  la figura 1.5.7.

y el E en P debido a cada es:

 

Empleamos la ecuación para calcular el campo eléctrico

, debido a cada elemento  ene el punto P.

 El E total  en P  debido la sumatoria de los elementos es:

  Evaluamos el campo total en P realizando la sumatoria  delas contribuciones individuales (principio de superposición )

 

Si la distribución es considerada continua, el campo total en P en el limite es:

 

La integral se realiza sobre al distribución completa y vectorial

En los cálculos es conveniente usar las siguientes consideraciones:

 

 

Densidad de carga volumétrica

Si una carga Q  se distribuye  uniformemente  por un volumen V, la densidad  de carga volumétrica se define por;

Coulombs / m3

 

Densidad de carga superficial

Si una  carga  Q  se distribuye  uniformemente  sobre  una superficie  de área A,  la  densidad de carga  superficial  esta dada por;

 

 Coulombs /m2

 

 

Densidad de carga lineal

Si una carga Q se distribuye  uniformemente  a lo largo  de un a liea  de longitud l la densidad  de carga  lineal  la definimos con;

 C /m

 

 

 

Donde  es la diferencial de  carga o unidad fundamental de volumen, superficie o longitud

 

 

 

Ejemplo1.6.3

Figura 1.5.8Figura 1.5.8

Enunciado: Una barra de longitud l tiene una carga positiva uniforme por unidad  de longitud y una carga Q . calcule el campo eléctrico en un punto P que esta ubicado a lo largo del eje  de la barra  y a una distancia a  de un extremo figura 1.5.8

incognita:

  • campo electrico en P ubicado a lo largo del eje de la barra, y a una distancia a de un extremo figura 1.5.8.
Datos:
  • una barra de longitud l con carga positiva.

Conocimientros previos:

  • formula del campo electrico.

Solución

Suponga que la barra esta  sobre  el  eje x, que dx es  la  longitud  de un pequeño segmento de la barra  y  que dq es la carga  sobre  dicho segmento. Puesto que la barra tiene  una  carga  por unidad  de longitud , la carga de sobre  el pequeño segmento  es dq =  dx.

El campo dE  producido por este segmento en P esta en la dirección x negativa  y su magnitud es:

ya que cada elemento  produce un campo  en la dirección x negativa, el problema  de sumar  dichas  contribuciones  es particularmente simple en este caso. El campo total en P producido por todos  los segmentos  de la barra,  que se encuentran a diferentes  distancias P, esta dado por la ecuación  , que en este  caso se convierte  en :

donde los limites  en la integral se extienden  desde un extremo de la barra (x = a) hasta  el otro (x = l + a). Las constantes  de k, pueden separarse de la integral para producir;

 

donde  se a usado el hecho  de que  la carga  total Q = l. Si P esta  bastante lejos dela barra (a>>l) , entonces l puede ignorarse  en el denominador, y . Esta es exactamente la forma  en que usted esperaría para una carga puntual. Por tanto, agrandes  valores  de a/l, la distribución de carga  aparece  como  una  carga puntual de magnitud Q. Utilizar  la técnica  del limite (a/l ) es un buen método para verificar una formula teórica.

 

 

Ejemplo 1.6.4

Enunciados: Un a anillo  de radio a  tiene  una carga  positiva  total Q  distribuida  uniformemente. Calcule  el campo  eléctrico debido al  anillo en un punto P que  se  encuentra  a una distancia  x  de su  centro a lo largo del eje  central perpendicular al plano  del anillo figura 1.5.9

incognita:

  • el campo electrico.
Datos:
  • un anillo de radio a.
  • distancia x.

Conocimientros previos:

  • densidad de carga.

 

Figura 1.5.9Figura 1.5.9

Solución

La magnitud  del campo  eléctrico en P  debido  al segmento  de carga dq es  este campo tiene una  componente  dEx = dE cos ,a lo largo del eje  y una  componente  dE  perpendicular  al eje. Sin embargo  como se ve en la figura, el campo  resultante  en  P debe  estar sobre  el eje x  debido a que  la suma  de las  componentes  perpendiculares  de todos  los segmentos   de carga es  igual acero. S decir  la componente  perpendicular  del campo  creado para  cualquier  elemento  de carga es cancelada  por  la  componente  perpendicular creada  por un elemento en el lado opuesto del anillo. Puesto que r = (x2 + a2)1/2 y cos = x/r, se encuentra  que;

 

 

Todos  los segmentos  del anillo  producen  la misma  contribución al campo en P  puesto que todos  son  equidistantes  de este punto. Así, se puede integrar para  obtener  el campo total en P:

 

Ejemplo 1.6.5

Figura 1.6.0Figura 1.6.0

Enunciado: Un disco  de radio R tiene  una carga  uniforme  por unidad de  área . Calcule  el campo eléctrico en un punto p que se encuentra  a lo largo  del eje  central y a una distancia x  de su centro figura 1.6.0

incognita:

  • campo electrico en un punto P.

Datos:

Conocimientros previos:

  • carga uniforme por unidad de area.
  • calculo de campo electrico.
  • comportamiento del campo electrico en un disco.

 

Razonamiento

La solución  a este problema  es directamente  si consideramos  al disco como un conjunto  de anillos  concéntricos. Podemos usar entonces  el ejemplo  de  el campo eléctrico  de un anillo de carga  uniforme, el cual produce  el campo  de un anillo  r,  y sumar las contribuciones  de todos  los anillos  que conforman  el disco. Por simetría, el campo sobre  un  punto axial  debe ser paralelo a este eje.

Solución el anillo  de radio r y ancho dr  tiene una área  igual a según la figura. La carga dq  sobre  el anillo  es igual al área  del anillo multiplicada  por  la carga  por unidad  de área , o dq = .usando este resultado  en la ecuación dada  para E en el ejemplo anterior (a sustituida por r) se produce  para el  campo debido al anillo la expresión

 

Para obtener  el campo total  en P, integramos  esta expresión sobre  los limites r = R, observando que x  es una  constante . esto produce:

 

el resultado es valido  para todos los valores  de x . el campo  cercano al disco sobre un punto axial puede  obtenerse  también  a partir  el resultado de la ecuación anterior  suponiendo que R>>x

 

 

l.6.2 Las Líneas de Campo Eléctrico

La forma de visualizar el  campo eléctrico es dibujar líneas que parten en la mismas dirección que el vector campo eléctrico en cualquier punto, estas líneas  se relacionan con  el campo eléctrico  en cualquier región;

  • El vector es tangente a la línea de campo  E en cada punto
  • El numero de líneas por unidad de área  a través  de una superficie  perpendicular alas líneas  es proporcional  ala magnitud  del campo  eléctrico en esa  región. Así , E es mas grande  cuando  las líneas  de campo  están  próximas  entre si  y es pequeño  cuando  están  apartadas.

Figura 1.6.1 Esto lo podemos observar  en la figura 1.6.1  donde  la densidad  de líneas  a través de la superficie  a es  más grande  que la densidad   de líneas  a través  de la superficie  B. En consecuencia, el campo eléctrico es mas intenso  sobre la superficie A que en la superficie B, si las líneas en diferentes situaciones apuntan en diferentes  direcciones, nos indica que  el campo no es uniforme.

 

Figura 1.6.2

En la figura 1.6.2 se muestra las líneas de campo  eléctrico  debido a una carga puntual  positiva (y negativa) individual. La figura es una representación bidimensional de una situación tridimensional. En cualquier caso, las líneas están  a lo largo  de la dirección radial y en  todas partes   se extienden  hacia el infinito. Las líneas están mas juntas en la cercanía de la carga, lo  que nos indica que  la intensidad de campo eléctrico  esta en función  de la distancia  al  origen  de la carga. Para dibujar las líneas  de campo eléctrico es necesario  seguir las  siguientes reglas:

  • Las líneas  deben  empezar  en una  carga  positiva  y terminar  en una carga  negativa
  • El numero de líneas  dibujadas  saliendo  de una carga  positiva  o aproximándose  a una  carga  negativa  es proporcional  ala  magnitud  de la carga
  •  Ningún par de líneas  de campo puede cruzarse.

 

1.6.3 El Dipolo Eléctrico

Figura 1.6.3 las línea de campo eléctrico  para  dos  cargas  puntuales  de igual  magnitud  pero de signos opuestos  se muestra en la figura 1.6.3, en la cual se observa que las líneas que empiezan  en la carga  positiva  debe  de ser  igual  al numero  de las líneas  que entran  en la carga negativa. La  alta densidad delineas  entre las cargas  indica  una región  de intenso  campo eléctrico.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 1.6.4En esta figura 1.6.4  se muestran  líneas  en la vecindad   de dos cargas puntuales  iguales (+) y se observa  el comportamiento casi radial y  que a  grandes distancias el campo es  aproximadamente  igual al de una  carga  puntual  individual de magnitud 2q. En la figura 1.6.5 se bosquejan las líneas  de campo  eléctrico asociadas  con una  carga  positiva +2q  y una carga negativa –q. En  este caso  el numero de líneas  que salen de +2q es el doble  de numero que  terminan  en –q. Por tanto, solo la mitad  de las líneas que salen dela carga  po0sitiva  alcanzan  ala carga  negativa. La  mitad restante  termina  en una carga  negativa  que se supone  esta  en el infinito. A distancias  consideradas grandes  comparadas  con la  separación  de las  cargas, las líneas  de campo  eléctrico son  equivalentes  a las  de una carga individual +q.

Figura 1.6.5Figura 1.6.5

1.6.4 El Movimiento  de Partículas  Cargadas  Dentro de un Campo  Eléctrico  Uniforme

Cundo una partícula  de carga (q) y masa (m)  se sitúa  en un  campo  eléctrico E, la fuerza eléctrica  ejercida  sobre  la carga  es qE. Si esta es la única fuerza ejercida  sobre  la  partícula, debe  ser la fuerza neta y por ende  debe  causa  que la partícula  se acelere. En este  caso la  segunda ley de Newton se aplicada a la   partícula produce: F = qE = ma, por lo tanto la aceleración dela partícula  es . si E es uniforme, entonces  la  aceleración  es constante. Si la partícula  tiene  una carga  positiva, la  aceleración  esta  en la  dirección  del campo eléctrico. Si la partícula tiene carga  negativa, entonces  la  aceleración  es en la dirección opuesta  del campo  eléctrico. El campo eléctrico  en la región  entre dos placas  metálicas  planas  con cargas  opuestas  es casi uniforme fig1.6.6. suponga  que un electrón de carga –e se proyecta  horizontalmente  dentro  de este campo a una velocidad  inicial . puesto que  el campo eléctrico  E en la figura  esta en la dirección  positiva , la  aceleración  del electrón  es  en la dirección y negativa. Es decir,

ya que la aceleración  es constante, se pueden aplicar  las ecuaciones  de la cinemática  en dos dimensiones con . Después  de que  el electrón ha  estado  en el campo  eléctrico durante  un tiempo t, las componentes  de su velocidad  son

Figura 1.6.6Figura 1.6.6

 

 

Sus coordenadas  después de un tiempo t en el campo  son:

 

 , al sustituir  el valor t = x / vi , se ve  que y  es proporcional ax2. por tanto la trayectoria  es una parábola. Después  de que el electrón  abandona el campo  continua  moviéndose  en línea  recta  en dirección  de v, obedeciendo la primera ley de Newton. Observe que se ha ignorado  la fuerza  gravitacional  que actúa sobre el electrón. Sin embargo es una buena aproximación  para cuando se trabaja  con partículas  atómicas para un campo eléctrico  de 104 N / C, la relación  entre  la magnitud  de la fuerza  eléctrica  eE  y la magnitud  dela fuerza  gravitacional mg es del orden de 1014 para  un  electrón y del orden de 1011 para un protón.

Ejemplo  1.6.4.1

Enunciado: Una carga puntual positiva q de masa m  se libera  desde  el reposo en un  campo eléctrico uniforme e dirigido a lo largo del eje x como se muestra en la figura 1.6.7.

 

incognita:

  • Descripcion de movimiento.
Datos:
  • carga puntual positiva q de masa m liberada desde el reposo en un campo electrico uniforme dirigido a lo largo del eje x.

Conocimientros previos:

  • carga puntual positiva.
  • comprension del campo electrico uniforme.
  • leyes y formas del movimiento.

 

 

Figura 1.6.7Figura 1.6.7

 

Describa su movimiento

Solución y razonamiento

La  aceleración de la carga  es constante  y esta  dada por qE/m. El movimiento es lineal simple  a lo largo del eje x. Por consiguiente, podemos  aplicar las ecuaciones  de la  cinemática  en una  dimensión

,

, ,

 

La engría cinética de la carga  después de que  se ha movido una distancia x es:

Ejemplo1.6.4.2

Figura 1.6.8Figura 1.6.8

Enunciado: En la figura 1.6.8  se demuestra  un electrón  que  entra  a la región  de un campo  eléctrico uniforme  con vo = 3.00x106m/s y E = 200N/C. El ancho  de las placas  es l = 0.100m.

a)      Encuentre la aceleración del electrón mientras  esta  en el campo eléctrico

incognita:

  • aceleracion del electron mientras esta en el campo electrico.
Datos:
  • Electron que entra a la region de un campo electrico, ancho de placas.

Conocimientros previos:

  • carga y peso del electron.
  • leyes de la velocidad, aceleracion.
  • campo electrico entre dos placas paralelas.

Solución

Puesto que la carga  en el electrón  tiene  una magnitud  de 1.60x10-19 C y m = 9.11x10-31 kg, de la ecuación , obtenemos;

 

b)      Encuentre el tiempo que tarda  el electrón en viajar a través  de la región  del campo  eléctrico

Solución

La distancia horizontal  recorrida  por el  electrón mientras  esta  en el campo eléctrico es l = 0.100m. empleando la ecuación:

con x = l, encontramos  que el tiempo que transcurre en el campo es

c)      ¿Cual es el desplazamiento vertical y del electrón mientras esta en el campo eléctrico?

Solución

Utilizando la ecuación

 

, y los resultados de a y b , encontramos que;

 

, si la separación  entre placas  es mas pequeña  que esto, el electrón  golpeara  la placa positiva.

El tubo de rayos catódicos: Figura 1.6.9

Figura 1.6.9

El movimiento  de partículas  cargadas  dentro de un campo  eléctrico  uniforme es un ejemplo  que describe una porción  de un tubo de rayos  catódicos TRC. Este tubo ilustrado en la figura 1.6.9. se usa para obtener despliegues visuales  de información electrónica  en osciloscopios, sistemas de radar, receptores e televisión  y monitores de computadoras. El TRC es u  tubo al vació en el que   un haz  de electrones  se acelera  y desvía bajo la influencia  de campos  eléctricos o magnéticos. El has se produce  por medio de un conjunto de dispositivos  llamado  cañón de electrones  localizado en el cuello del tubo, estos electrones, sino son perturbados, viajan en una trayectoria  en línea recta  hasta que  inciden  en el  frente  del TRC, la plantilla  la cual esta cubierta  con un material que  emite  luz  visible  cuando se bombardea  con  electrones. En el osciloscopio los electrones   se desvían  en diversas direcciones  por  medio de dos conjuntos  de placas  situadas  en ángulos  rectos  entre si en el  cuello del tubo. Un circuito  eléctrico externo se usa  para controlara la cantidad de carga  presente  en las placas. La colocación de la carga  positiva  sobre una o placa horizontal  y la carga  negativa  sobre la otra  crea un campo eléctrico entre  las placas  y permite  que  el rayo se dirija  de  lado a lado. Las placas  verticales  de desviación actúan de la misma manera, excepto que cambiar la carga  en ellas  desvía el rayo verticalmente 

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