Unidad II

Potencial Electrico

 

El alumno  debe haber  estudiado el concepto de energía  potencial  anteriormente en conexión  con la  fuerza de gravedad y la fureza  en  resortes. En la unidad presente  se estudia  el concepto de energía potencial eléctrica. Partiendo  de  que la fuerza electrostática  descritita por  la ley de Coulomb es conservativa, entonces los fenómenos electroestáticos pueden describirse en términos de energía potencial eléctrica. El potencial eléctrico  en cualquier punto   dentro  de un  campo  eléctrico es una  función escalar y  se  emplea  para  describir  fenómenos  electroestáticos  de manera mas simplificada.   El alumno  comprobara  que  el concepto  de potencial  eléctrico es de gran valor practico.

 

2.1 Diferencias de potencial y potencial electrico

Si una carga de prueba qo se coloca  en un campo eléctrico  E  creado por  alguna  objeto  cargado,  la fureza eléctrica  que actúa  sobre la carga  de prueba es qoE. La fuerza qoE  es conservativa  debido a que las fuerzas  individuales  descritas  por  la ley de Culomb son  conservativas. Cuando la carga  de prueba  se  mueve  dentro de un  campo eléctrico por un agente externo,  el trabajo  hecho  por el campo eléctrico sobre  la carga  es igual al negativo  del trabajo hecho por el agente  externo que  produce  el  desplazamiento. Para un  desplazamiento infinitesimal ds, el trabajo hecho  por el  campo electrico sobre la carga Fds = qoE . como esta cantidad  de trabajo es realizada  por  el campo, la energía  potencial del  sistema campo-carga se  reduce  en una  cantidad dU = -qoEds. Para un desplazamiento finito de la carga  entre  los puntos A y B, el cambio de energía  potencial del sistema   es: la integración  que  se efectúa  a lo largo  de la trayectoria  que sigue  qo cuando  se mueve  de A a B, y    recibe  el nombre  de integral de línea. Puesto  que la  fuerza qoE es conservativa, esta integral  de línea  no depende  de la trayectoria  seguida  de A a B.

                   (Ec.1)

 

La energía  potencial  por unidad  de carga U/qo es independiente  del valor  de qo y tiene  un valor  único en cada  punto en un campo electrico. La cantidad U/qo recibe  el nombre  de potencial  electrico V. De este modo, el potencial electrico en cualquier  punto en un campo  electrico es:

                                           (Ec.2)

El hecho  de que la energía  potencial  sea una  cantidad  escalar  significa  que  el potencial electrico  es también  una cantidad escalar.

La diferencia de potencial entre cualesquiera dos puntos A y B en un campo electrico  se define  como el  cambio  en la energía  potencial  del  sistema   dividida  por la carga  de prueba qo.

 

               (Ec.3)

La diferencia de potencial  no debe  confundirse  con la  diferencia  de energía  potencia. La diferencia de potenciales  es proporcional  al cambio  de energía  potencial y observamos en la ecuación anterior, que las  dos   se relacionan  por medio de .

El potencial electrico es una característica  escalar  del campo electrico, independiente  de las  cargas  que pueden  ponerse  en el campo. Sin embargo  cuando se habla  de energía potencial, se esta  haciendo referencia al sistema de carga-campo. Ya  que por lo general  se esta interesado  en conocer  el potencial  electrico  en la posición  de una carga, así  como la energía potencial causada  por la  interacción  de la carga  con  el campo, se sigue  la  convención  común de hablar  de la  energía  potencial como  si perteneciera  a la carga.

 

Puesto que  el cambio  en la energía  potencial  de una  carga  es el  negativo del trabajo  realizado por el campo  electrico sobre  la carga, la diferencia de potencial  ente los puntos A y B es igual al trabajo  de prueba  de A y B sin un cambio en la  energía cinética  de la  carga  de prueba.

Lo mismo que con la energía  potencial, solo son significativas  las diferencias en el potencial  electrico. Sin embargo, para evitar tener  que trabajar  con  diferencias  de potencial , con  frecuencia  se puede  tomar  el  potencial  electrico cono cero en algún  punto conveniente  en un  campo  electrico. Esto es lo que se hace  aquí: fijar de manera  arbitraria  el potencial  electrico igual a cero en un  punto  que esta  infinitamente  lejos  de las cargas  que producen el campo. Una ves hecha esta selección.  Se puede afirmar  que el potencial  electrico en un punto arbitrario  en un  campo eléctricos   es igual  al trabajo requerido por unidad   de carga  para llevar  una carga  de prueba  positiva  desde el infinito hasta  ese punto. Así, si se  considera  el punto a en el  infinito en la Ec.3 entonces  el potencial  electrico  en cualquier  punto  P  es:

 (Ec. 4)

en realidad, Vp representa  la diferencia  de potencial entre los puntos  P y un punto  en el infinito.

 

Puesto que   le potencial  electrico  es una  medida  de la  energía  potencial  por  unidad  de carga, la unidad  del SI  tanto del potencial  electrico  como   de la diferencia   de potencial es  Joules por  Coulombs, definido como Volt (V)

es decir, debe  efectuarse  1j  de trabajo  para  mover  una  carga  de 1c  a través  de una  diferencia  de potencial  de 1v.

La ecuación 3  muestra  que la  diferencia  de potencial también tiene unidades de campo electrico  por distancia  a partir  de esto  se  deduce  que la  unidad  del  SI de  campo electrico  (N/C) también  puede  expresares  como  Volts  por metro:

 

una unidades  de energía  utilizada  comúnmente  en la física  atómica  y nuclear  es el  electrón volt (eV), el cual se define  como  la  energía  que  un  electrón  (o protón) gana o pierde  al moverse  a través  de una  diferencia de potencial de 1V =1 J/C, y puesto  que la  carga  fundamentalmente es  de aproximadamente  , el electrón-volt  se relaciona  con joule  de la manera siguiente:

 

(Ec.5)

 

 Por ejemplo, un electrón  en el haz  de un  tubo  de imagen  de televisión  típico puede  tener  una rapidez  de 3.5 x107 m/s. Esto corresponde a una energía  cinética  de 5.6x10-16 J, que es equivalente  a 3.5x103eV. un electrón con estas características  tiene  que  acelerarse  desde  el reposo a través  de una  diferencia  de potencia  de 3.5 Kv para alcanzar esta rapidez.

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2.2 Diferencias de Potencial en un Campo Electrico Uniforme

Figura 2.1Figura 2.1

 

 

 

 

Las ecuaciones 1 y 3 son validas en todos los campos eléctricos, sin importar si son uniformes o variables, aunque  pueden  ser  simplificadas  para  un campo   uniforme. En primer lugar, considere  un campo electrico  uniforme  dirigido  a lo largo  del eje y  negativo como se ven en la figura (2.1a). calcule la diferencia de potencial  entre  dos puntos  A y B, separados  por una  distancia  d, donde  d se mide  paralela  a las lineas  de campo. De la ecuación 3 obtenemos:

 

puesto que e es constante, puede  eliminarse  del la integral, lo que produce

 

                      (Ec.6)

 

el signo menos indica que el punto B esta  aun  potencial  electrico menor  que el  punto A;  es decir VB<VA. Las lineas  de campo  electrico  siempre  apuntan  en la  dirección    de potencial  electrico decreciente, como se muestra en la figura (2.1a)

suponga ahora  que una carga de prueba qo se mueve  de A a B: el cambio  en su  energía  potencial  puede  encontrarse  de las  ecuaciones 3 y 6 

 

                  (Ec.7)

 

A partir  de este  resultado se ve que si qo es positiva, entonces  es negativa. Se concluye  que  una  carga  positiva  pierde  energía  potencial eléctrica  cuando  esta  se mueve  en la dirección  del campo electrico. Esto significa que un campo  el4ctrico realiza  trabajo  sobre  una carga  positiva  cuando  la carga  se mueve  en la dirección  del campo electrico. Si una  carga  de prueba positiva se libera  desde el reposo en este campo electrico, experimentara  una  fuerza  eléctrica  qoE en la dirección  de E. Por tanto, se acelera hacia  abajo, ganando energía cinética. Conforme  la partícula  gana  energía  cinética, pierde una  cantidad igual de energía potencial.

Si qo es negativa, entonces es positivo y la situación  se invierte: una carga  negativa gana  energía  potencial eléctrica cuando  se mueve  en la dirección  del campo electrico. Si una carga se libera desde el reposo en el  campo E, esta  se acelera en una dirección  opuesta  a la  dirección  de campo.

Considere ahora el caso mas general de una partícula  cargada  que se  mueve  libre  entre dos puntos  cualesquiera  en un  campo  electrico uniforme  dirigido a lo largo del eje x, como se muestra  en la figura (2.2). Si  s representa   el vector  desplazamiento entre los puntos  A y B, la ecuación 3 produce:

 

                 (Ec.8)

 

donde de nuevo se esta en posibilidad de sacar  E  de la integral, puesto  que  es  constante. El cambio  de energía   potencial  de la  carga  es 

 

     (Ec.2.9)

 

Figura 2.2 Figura 2.2    

 

                      

Por ultimo, se concluye   a partir  de la ecuación  2.8  que  todos  los puntos  en un  plano perpendicular  a un campo  electrico uniforme  están  al mismo  potencial  electrico. Esto puede verse  en la figura  adjunta, donde  la diferencia  de potencial es igual  ala diferencia  de potencial . Por tanto, . El nombre de  superficie  equipotencial  se da  a cualquier  superficie  compuesta  de una  distribución  continua  de puntos  que  tienen  el mismo  potencial electrico.

Advierta que  ya  que , no  se realiza trabajo  al  mover  una  carga  de prueba  entre  dos puntos  cualesquiera  en una  superficie  equipotencial. Las superficies  equipotenciales  de un  campo electrico  uniforme  se componen  de una  familia  de planos  que  en su  totalidad  son  perpendiculares  al plano.

 

Ejemplo 2.1

Enunciado: una batirá  produce  una  diferencia  de potencial especificada  entre  los  conductores  unidos  a las terminales  de la batería. Una  batería de 12V  se conecta  entre  dos  placas paralelas, como  se ven en la figura. la separación  entre las  placas  es de, d = 00.30cm, y se supone   uniforme  el campo electrico  entre las placas. Esta suposición es razonable  si la  separación  de las placas  es  pequeña  comparada  con el  tamaño de las placas  y si  no se  consideran  puntos  cerca  de los  bordes  de las placas. Determine la magnitud  del campo  electrico entren las placas.

Incógnitas:

 La magnitud  del campo  electrico entren las placas.

Datos :

 Bateria de 12v

figura

Conocimientos previos:

 Conceptos de campo electrico

Solución:  el campo  electrico esta dirigido  de la placa  positiva A hacia  la placa  negativa  B, y  la  placa  positiva  esta  a un  potencial  electrico mayor  que  la placa  negativa. La  diferencia de potencial  entre las   placas  debe ser igual  ala  diferencia  de potencial  entre las  terminales  de la batería. Esto  puede   entenderse  observando  que todos  los puntos  en un  conductor  en  equilibrio  están  al mismo  potencial  electrico, no hay   diferencia de  potencial entre  una  terminal  y  cualesquier parte  de la  placa  ala que  esta  conectada. Por tanto, la  magnitud  del campo electrico  entre  las placas es, de la  de la ecuación 2.6

 

 

 

Figura 2.3

esta configuración, la cual  se muestra  en la figura  y se conoce como  capacitor  de placas paralelas.

 

Figura 2.3

Ejemplo 2.2

Figura 2.4Figura 2.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Enunciado: Un protón se suelta desde el reposo en un campo eléctrico uniforme  que  tiene  una magnitud fig. 2.4 de 8.x104 V/m y esta dirigido  a lo largo  del eje x positivo. El protón  se desplaza 0.50 cm  en la dirección  entre los puntos  A y B. Determine el cambio de velocida

Incógnita:

 Determine el cambio de velocida

Datos:

 Un protón se suelta desde el reposo en un campo eléctrico uniforme 

Conocimientos previos:

 Campo electrico

Diferenvia de potencial

Solución:

Y que el protón se mueve  en la  dirección  del campo, se espera  que  se mueva  a una posición  de menor potencial  eléctrico.

 

b) determine  el cambio  de energía  potencial  del protón  para  este  desplazamiento.

Solución:

 

 El signo  negativa significa que la energía  potencial  del protón disminuye  cuando este  se mueve  en la dirección  el campo  eléctrico, gana  energía  cinética  y al mismo  tiempo pierde  energía  potencial eléctrica, la energía se conserva.

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2.3 Potencial Electrico y Energia Potencial Debidos a Cargas Puntuales

Considere una carga  puntual  positiva  aislada q. Recuerde  que  este tipo de carga  produce un campo  eléctrico que  apunta  radialmente  hacia  afuera  desde  la carga. Para  determinar el potencial eléctrico en un punto localizado a una distancia  r  de la  carga, se comienza  con la  expresión  general para la  diferencia  de potencia.

 

 

Donde A y B son los dos puntos  arbitrarios  mostrados  en la figura 2.5. en cualquier  punto del campo, el campo eléctrico  debido  a la carga  puntual es , donde   es un  vector unitario dirigido  desde  la carga  al punto del  campo. La cantidad   puede expresarse como

 

Puesto que la magnitud  de  y . Asimismo, ds cos es la proyección  de ds sobre r; en consecuencia ds cos =dr, esto significa  que  cualquier  desplazamiento  ds  a lo largo  de la trayectoria  desde  el punto A hasta  el punto B  produce  un cambio dr  en la magnitud  de r,  la distancia  radial a la  carga  que  crea el campo.  Con estas  situaciones, se  encuentra  que , de modo  que la  expresión  para  la diferencia  de potencial se vuelve.

Figura 2.5Figura 2.5

       (ec.2.10 )

 

 

La integral  de es independiente. De la trayectoria entre los puntos A y B como debe ser, porque  el campo eléctrico de una carga puntual es conservativo. Además, la ecuación 2.10 expresa  el importante  resultado de que  la diferencia  de potencial entre dos puntos cualesquiera A y B en un campo  creado por una carga  puntual  depende  solo  de las coordenadas radiales rA y rB. Es común  elegir  la referencia  de potencial eléctrico igual  a cero en rA = . con esta  elección el potencial eléctrico debido  a una  carga  puntual  a cualquier distancia  r  de la carga  es

                       (ec.2.11)

El potencial eléctrico se grafica  en la figura 2.7 como un función  de r, la distancia  radial desde una  carga  positiva en el plano xy. Considere la siguiente analogía con el potencial gravitacional: imagínese intentando  hacer  rodar  una canica  hacia  la cima  de un  promontorio como  el mostrado  en la figura 2.6a. La fuerza gravitacional experimental por un objeto cargado positivamente  conforme  se acerca otro objeto cargado  en la misma  forma. De manera  similar, la grafica  del potencial  eléctrico de la región  que  rodea una carga  negativa es similar  a un  hoyo con respecto  a cualesquiera  objetos  con carga  positiva  que se acerquen. Un objeto  cargado debe  estar infinitamente  distante  de otra carga antes   de que  la superficie  se aplane  y tenga  un  potencial  eléctrico cero.

Figura 2.6.b Figura 2.6b

Figura 2.6.aFigura 2.6.a

 

El potencial electrico de  dos o mas cargas  puntuales  se obtiene  aplicando  el  principió  de superposición. Es decir, el  potencial electrico  total  en algún  punto  p  debido  a varias  cargas  puntuales  es la misma  de los  potenciales  debidos  a las  cargas  individuales. Para un grupo de  cargas   puntuales  se  puede escribir  el potencial  electrico total  en P  en la forma

             (2.12)

 

donde  el potencial  se considera  otra ves  igual  a cero en el infinito  y ri es la distancia  del punto P  a la carga qi. Advierta  que la suma  en la  ecuación  2.12  es una  suma  algebraica  de  escalares  en lugar  de una  suma  vectorial. Así pues, es mucho  mas  sencillo  evaluara  v  que  evaluar E. El  potencial  electrico  alrededor  de un  dipolo  se  ilustra  en la figura 2.6.

 Considere ahora  la energía  potencial  de un  sistema  de dos  partículas  cargadas. Si Vi  es el potencial  electrico  en el  punto  P  debido ala carga  q1, entonces  el trabajo  que un agente  externo  debe  realizar  para  llevar a una segunda  carga q2  del infinito  al  punto P  sin  aceleración  es q2V1 por definición,  este  trabajo  es igual  ala  energía  potencial  U  del sistema  de dos  partículas  cuando están  separadas por  una  distancia r12 fig, 2.7. En consecuencia ,se puede  expresar la  energía  potencial  como.

 

           (ec. 2.13 )

 

observe que sin las  cargas  son  del mismo  signo, U  es positiva. Esto es consistente  con  el hecho deque   un  agente  externo  debe  efectuar trabajo positivo sobre  el sistema  para  acercar  las dos   cargas  entre si. Si  las cargas   son  de signo  opuesto, U  es negativa; esto significa  que debe  de  realizarse  trabajo negativo contra  la fureza  atractiva  entre  las cargas  distintas  para  que  se las pueda  acerar entre si. Si en el  sistema  hay  mas de  dos  partículas cargadas, la energía  potencial total  puede  obtenerse  calculando U para  cada  par  de cargas  y sumando  los términos  algebraicamente. Por ejemplo  la energía  potencial  total  de tres  cargas  mostradas  en la  fig.2.10 es,

 

             (2.14 )

Físicamente esto se  puede interpretar  como sigue. Imagine  que q1  esta  fija  en la  posición  indicada  en la figura 2.10, pero  que q2 y q3  están  en el infinito.  El trabajo  que un agente externo debe  efectuar para levar q2  desde el infinito hasta su posición  cerca  de  q1 es , que es el primer termino en la ecuación 2.14. los últimos  dos  términos  representan  el trabajo requerido para  llevar q3  del infinito hasta  su posición  cerca de q1 y de q2.

Figura 2.7.aFigura 2.7.a

Figura 2.7.b Figura 2.7.b

 


 

Figura 2.8 Figura 2.8

 

Figura 2.9

 

 

 

 

 

 

 

Figura 2.9

 

 

 

 

Cuadro de texto: Fig.2.11 a b

Figura 2.10

 

 

 

Ejemplo 2.3

Enunciado: una carga  q1 = 2.00 microcoulombs se localiza en el origen, y una  carga q2 =-6.00micorocoulombs. se encuentra  en (0, 3.00) m, como se muestra  en la figura 2.10a.

a)       Encuentre el potencial electrico total  debido a  estas  cargas  en el  punto P, cuyas  coordenadas  son (4.00, 0) m.

 

( )

 

Incógnita:

 Encuentre el potencial electrico total  debido a  estas  cargas  en el  punto P, coordenadas  son (4.00, 0) m.

  Datos:

  Una carga  q1 = 2.00 microcoulombs se localiza en el origen, y una  carga q2 =-6.00micorocoulombs. se encuentra  en (0, 3.00) m, como se muestra  en la figura 2.10a.

Conocimientos previos:

Campo electrico

Diferencia de potencial

Campo electrico

Solución: para dos cargas, la suma  en la  ecuación 2.12 produce

 

b) Encuentre el cambio  en  energía potencial de una  carga  de 3.00 que se   mueve desde el infinito hasta el punto P fig. 2.10b

Incógnita:

Encuentre el cambio  en  energía potencial de una  carga  de 3.00 que se   mueve desde el infinito hasta el punto P

Datos:

fig. 2.10b

Conocimientos previos:

Campo electrico

Diferencia de potencial

Energia potencial

Solución: cuando la carga  esta en el infinito Ui = 0, y cuando  la carga  esta  en P, Uf q3Vp

Por tanto,

 

 

por consiguiente, puesto que  W = - , tendrá  que  efectuarse  trabajo  positivo por  un  agente  externo para  quitar la  carga  desde  el punto P  de  regreso al infinito.

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2.4 Obtencion del Valor del Campo Electrico a Partira del Potencial Electrico

En la ecuación 2.3  se indico como  se  relacionan  el campo  electrico E y el potencial  electrico V. Ahora  se mostrara  como  calcular  el valor  del campo  electrico si se  conoce  el potencial  eléctrico  en una cierta región.

 

A partir  de la  ecuación 2.3  se puede  expresar la diferencia  de potencial  dV  entre  dos  puntos  separados  una  distancia  ds  como

 

                            (ec. 2.15)

 

si el  campo electrico  tiene  una  componente  Ex, entonces . por tanto, la  ecuación 2.15 se transforma  en , o

 

         (ec.2.16)

 

Es decir, la magnitud del campo electrico  en la dirección  de alguna  coordenada  es  igual  al negativo  dela  derivada  del potencial  electrico  en relación  con  dicha  coordenada. En el análisis de la ecuación 2.8  el potencial electrico no cambia  para cualquier desplazamiento  perpendicular  al campo electrico. Esto es consistente  con la noción,  desarrollada   de que las superficies equipotenciales son perpendiculares  al campo, como se ve en la figura 2.11.

 

Una pequeña  carga  positiva  colocada  en  reposo sobre  una línea  de campo  electrico comienza  a moverse  a lo largo   de la  dirección  de E, por que esa  es la dirección de la fureza  ejercida  sobre  la carga por la distribución  de carga  que crea el campo electrico. Puesto que la carga  parte  con la  velocidad cero, se mueve  en la  dirección  del  cambio en la velocidad  es decir, en  la dirección de a. Figuras 2.11 a y b la carga  se mueve  en la línea  recta  porque su vector aceleración  siempre  es paralelo a su  vector  velocidad. La  magnitud  de v aumenta  pero su dirección no cambia. La situación es diferente en la figura 2.11 c. Una carga positiva  colocada  en algún  punto cerca  del dipolo primero se mueve  en una dirección  paralela  a E en dicho punto. Sin embargo, como la dirección  del campo electrico es  diferente  en  distintas  ubicaciones, la  fuerza  que actúa sobre la carga cambia  de dirección, y  a ya no es  paralela  a lo largo  de v . esto provoca  que la carga en movimiento  cambie  de dirección  y rapidez, pero no necesariamente  sigue  las lineas de campo  electrico. Recuerde  que no es el vector  velocidad  si no  el  vector  aceleración el que proporciona la fuerza.  

 

Si la distribución  de carga  que   crea  un  campo electrico  tiene una simetría esférica, donde  la  densidad  de  carga  volumétrica  depende  solo  de la  distancia  radial r, entonces  el campo  electrico  es radial. En  este caso , de modo  que  dV se puede expresar  en la forma   . Por tanto,

 

              (ec.2.17)

Por ejemplo, el potencial  electrico  de una  carga puntual es . Puesto que  V  es la función  solo de r, la función  potencial  tiene  simetría  esférica. Al aplicar la  ecuación 2.17 se encuentra que el  campo electrico  debido a una  carga  puntual es , un  resultado familiar. Advierta  que el potencial cambia  únicamente  en la dirección radial, no en cualquier dirección  perpendicular  a r. de modo  que V es una  función  de r. De nuevo  esto es  consistente  con la idea  de  que las  superficies equipotenciales  son perpendiculares  alas lineas de campo. En este caso  las superficies  equipotenciales  son una familia  de esferas  concéntricas  con la distribución  de carga simétrica esfericamente (fig.2.11 b).

 

 Las superficies equipotenciales  para  un dipolo  electrico  se dibujan  en la figura 2.11c. Cuando una carga  de prueba se somete a un desplazamiento  ds  a lo largo de una superficie equipotencial, entonces  dV = 0 , puesto que el potencial  es constante  a lo largo de  una superficie equipotencial. A partir de la ecuación 2.15, entonces, dV = -Eds = 0; por tanto, E debe ser perpendicular. Al desplazamiento  a lo largo de la superficie equipotencial. Esto muestra que la superficies equipotenciales siempre  deben ser  perpendiculares  a las lineas  de campo electrico.

En general, el potencial  electrico es una función  de las  tres  coordenadas  espaciales, si V(r) esta dada en términos  de coordenadas  cartesianas,  las componentes  del campo  electrico Ex, Ey y Ez pueden encontrarse fácilmente  a partir  de V(x, y, z) como las siguientes derivadas parciales.

 

 

por ejemplo, si , entonces

 

 

Ejemplo 2.4

Enunciado: Un dipolo electrico  se compone  de dos cargas  de igual magnitud  y signo  opuesto, separadas  por una  distancia (2 a), como se ve en la figura 2.12. el dipolo esta  a lo largo del eje x y centrado  en el origen.

a) Calcule el potencial  eléctrico  en el  punto P

 

Incógnita:

Calcule el potencial  eléctrico  en el  punto P

Datos:

 Un dipolo electrico  se compone  de dos cargas  de igual magnitud  y signo  opuesto, separadas  por una  distancia (2 a)

Figura 2.12

Conocimientos previos:

Conocimientos del dipolo electrico

Campo electrico

Potencial electrico

Solución:

Para el punto P en la figura 2.13

 

Figura 2.12Figura 2.12

(¿Cómo  cambiaria  este resultado  si el punto P estuviera  localizado ala  izquierda  de la  carga negativa?)

b)       Calcule  V y Ex  en un  punto  alejado del dipolo.

 

Incógnita:

  Calcule el potencial  eléctrico  en el  punto P. Si el punto P estuviera  localizado ala  izquierda  de la  carga negativa.

Datos:

Un dipolo electrico  se compone  de dos cargas  de igual magnitud  y signo  opuesto, separadas  por una  distancia (2 a)

Figura 2.12

Conocimientos previos:

 Conocimientos del dipolo electrico

Campo electrico

Potencial electrico

 

Solución: Si el punto  P esta  lejos  del dipolo,  de modo  que  x  >> a, entonces  a2  puede  ignorarse  en  el termino x2- a2 y v se convierte  en.

 

Con este resultado  y con  la ecuación  2.16  se puede  calcular  el campo  electrico  en un punto alejado del  dipolo:

 

 

c)  Calcule  V  y Ex  si el punto P esta  ubicado en cualquier  parte  entre  las dos cargas.

 Incógnita:

Calcule  V  y Ex  si el punto P esta  ubicado en cualquier  parte  entre  las dos cargas. 

Datos:

Un dipolo electrico  se compone  de dos cargas  de igual magnitud  y signo  opuesto, separadas  por una  distancia (2 a)

Figura 2.12

Conocimientos previos:

Conocimientos del dipolo electrico

Campo electrico

Potencial electrico

Solución: 

 

 

se puede verificar este  resultado considerando  las  situación  en el centro del dipolo, donde

x = 0,  V = 0 y .

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2.5 Potencial Electrico Debido a Distribuciones de Cargas Continuas

Figura 2.13Figura 2.13

El potencial electrico debido a una distribución  de carga  continua  puede  calcularse  de dos maneras. Si se conoce la distribución de carga  puede  empezar  con la  ecuación 2.11 para el potencial electrico  de una carga puntual. A continuación   se considera  el potencial  debido  a un  pequeño  elemento de carga  dq. Tratando  a este  elemento  como una  carga  puntual fig. 2.13. el potencial  electrico dV  en algún  punto  P  debido  al  elemento  de carga dq  es:

              (ec.2.18)

 Donde r  es la distancia  desde  el elemento de carga  al punto P. Para obtener  el potencial total  en P  se integra  la ecuación 2.18 con el fin  de incluir  las  contribuciones de todos  los  elementos  de la  distribución  de carga.  Puesto que cada elemento  esta,  en general, a una  distancia  diferente  de P, y como kc  es constante, puede  expresar V como:

          (2.19)

En efecto, se  ha  sustituido la suma  en la  ecuación 2.12 por una integral. Observe  que esta expresión  para V  emplea  una referencia  particular: El potencial electrico  se considera  igual a cero cuando P  esta  infinitamente  lejos  de la  distribución  de carga.

Si el campo  eléctrico ya se  conoce  a partir  de otras consideraciones, como  la ley  de Gauss, se puede calcular el potencial electrico debido a una  distribución  de  carga continua empleando la ecuación 2.3, si la distribución de carga  es altamente simétrica, evalué primero E  en cualquier  punto usando la ley de Gauss y después  sustituya  el valor  obtenido  en la ecuación 2.3  para determinar  la diferencia  de potencial entre dos puntos  cualesquiera. Después elija  el potencial eléctrico V igual a cero  en algún  punto conveniente.

Ejemplo 2.5

Enunciado:

a) Encuentre una expresión para el potencial  electrico  en un  punto P  localizado sobre  el eje  central perpendicular  de  un anillo con  carga  uniforme  de radio  a y carga total Q

 

Incógnita:

Encuentre una expresión para el potencial  electrico  en un  punto P 

Datos:

Encuentre una expresión para el potencial  electrico  en un  punto P  localizado sobre  el eje  central perpendicular  de  un anillo con  carga  uniforme  de radio  a y carga total Q

Conocimientos previos:

Conocimientos del dipolo electrico

Campo electrico

Potencial electrico

 

Solución:  Oriente  el anillo  de tal modo que  su plano sea  perpendicular  a un eje x y su centro este  en el origen. Entonces  se puede considerar  que P se  encuentra  a una distancia  x  del centro del anillo, como se muestra en la fig. 2.14. el elemento de carga  dq  esta  a una distancia  igual a;  del punto P. Por tanto, se puede  expresar V como.

 

. Puesto que cada elemento  dq  esta  ala misma  distancia  del  punto P, el termino puede  quitarse   de la  integral  y V  se reduce  a:

 

la única variable  en esta  expresión para V es x. Esto no es una sorpresa, puesto que este calculo es valido solo  para  puntos  a lo largo  del eje x,  donde  tanto y como z  son cero.

 

Enunciado:

b) Encuentre  una expresión  para  la magnitud del  campo  electrico  en el punto P

Figura 2.14Figura 2.14

 

Incógnita:

Encuentre  una expresión  para  la magnitud del  campo  electrico  en el punto P

Datos:

 La magnitud del  campo  electrico  en el punto P

Figura 2.14

Conocimientos previos:

 Conocimientos del dipolo electrico

Campo electrico

Potencial electrico

Solución:

De acuerdo con la simetría, se ve que  E  alo largo  del eje x  puede  tener  solo  una  componente x. Por consiguiente, es  posible  usar la ecuación 2.16

 

este resultado concuerda  con el  obtenido por integración  directa.

 

Ejemplo 2.6 (25.7)

Enunciado: una barra  de longitud  l  localizada  alo largo  del eje x  tiene  una carga  total Q y densidad  de carga  lineal uniforme . Encuentre  el potencial electrico localizado en el punto P  a lo largo del eje y  a una distancia  a  del origen figura .2.15

 

Figura 2.15

Incógnita:

Encuentre  el potencial electrico localizado en el punto P  a lo largo del eje y  a una distancia  a  del origen

Datos:

El eje y  a una distancia  a  del origen figura .2.15

Conocimientos previos:

Campo electrico

Diferencia de potencial

Solución: El elemento de longitud dx  tiene  una carga  dq = dx. Puesto que este elemento  esta  a una  distancia  del punto P,  el potencial  en p debido  a este  elemento  se puede  expresar  como:

para obtener el potencial  total  en P  se integra  esta  expresión  sobre  los limites x = 0 a x = l. Si  advierte  que y son constantes, se encuentra que:

Integral de la forma, . Al evaluar  a V  se encuentra:

En r = R esta esperón proporciona que concuerda con el potencial  en la superficie, esto es, Vc en la fig.2.19 se presenta  una grafica  de v  contra r para esta distribución.

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2.6 Potencial Electrico Debido a un Conductor Cargado

Figura 2.16figura 2.16

Anterior mente se encontró que cuando un conductor  sólido  en equilibrio  tiene  una carga  neta,  la carga  reside  sobre  la superficie  exterior  del conductor.  Además,  se mostró  que el campo electrico afuera  de la superficie de un  conductor  es perpendicular  a la  superficie  y que  el  campo  interior es cero.

 

Ahora   se mostrara  que  cada  punto  sobre  la superficie   de un  conductor  cargado  en equilibrio  esta  al mismo  potencial eléctrico. Considere dos puntos A y B sobre  la  superficie de un conductor cargado, como se muestra en la figura 2.16. a lo largo  de la trayectoria  de la superficie que  une   a estos puntos,  siempre es  perpendicular al  desplazamiento  ds, por  tanto, E ds = 0. con  este  resultado y la ecuación 2.3. se concluye  que la diferencia  de potencial entre A y B  necesariamente es cero.

Este resultado se aplica  a cualesquiera  de dos puntos  sobre la superficie. Por  tanto, v  es constante  en todos los  puntos  sobre  la superficie de un  conductor  cargado en  equilibrio. Esto, es.

La superficie   de cualquier  conductor  cargado  en equilibrio  electroestático es una  superficie  equipotencial. Además, puesto que el campo electrico es cero dentro del conductor,  se concluye de la  relación , que el potencial  electrico  es constante  en todos  lados  en el  interior  del  conductor  e igual a su  valor  en la  superficie.

Como  esto es cierto para el potencial  eléctrico, no se requiere trabajo para  mover  una  carga  de prueba  del interior  de un  conductor  cargado a su  superficie.

Considere una esfera conductora  metálica  sólida  de radio R y carga  positiva  total Q, como  se muestra en la figura 2.21a . el campo electrico  fuera  de la esfera  es y apunta radialmente  hacia  afuera. Se sabe que el potencial electrico  en el interior  y en la superficie  de la esfera debe ser en relación con el infinito. El potencial afuera de la esfera es . La  fig. 2.21 muestra las variaciones  del campo electrico con r.

Cuando una carga neta se coloca sobre un conductor  esférico, la  densidad  de  carga  superficial es uniforme, como  se indica  en la figura 2.21a. sin  embargo, su el conductor no es esférico, como  en la figura 2.16 la densidad y la carga superficial es mas alta  donde  el radio de curva es pequeño y convexo y baja donde  el radio  de curva  de  curva es pequeño y la superficie  es cóncava. Puesto que el campo electrico afuera  de un  conductor  es proporcional  a la  densidad  de carga  superficial, se ve  que  el campo eléctrico  es mas grande  cerca  de  puntos  convexos  que tienen pequeños  radios  de curva  y alcanza  muy  altos  en puntos  afilados.

Figura 2.17

La figura 2.17 muestra las lineas  de campo  electrico alrededor  de dos  conductores esféricos: uno  con  una  carga  neta Q y uno  mas grande  con carga  neta cero. En este caso  la densidad  de carga  superficial  no es uniforme sobre  ninguno de los  conductores. La esfera  con carga  neta  cero tiene  cargas  negativas  inducidas  sobre  su  lado  que se  encuentra  frente  ala  esfera cargad,  y cargas  positivas  inducidas  sobre  su lado opuesto ala  esfera cargada. Las  curvas  en la figura  representan  las  secciones  transversales  delas  superficies  equipotenciales  para esta configuración  de carga. Como  es usual, las lineas  de campos  son  perpendiculares  a las  lineas  de campo en todo sitio.  Intentar mover  una  carga  positiva  en la región  de estos  conductores seria como mover  una canica  sobre  una  colina  que esta   plana  en su  cima  y tiene  otra  área  plana  parcialmente  hacia  abajo del lado de la colina

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 2.18Figura 2.18

Ejemplo 2.7 ( 25.9)

Enunciado: Dos conductores esféricos  de radios r1 y r2  están  separados  por una distancia  mucho  mayor que el radio de cualquiera  de  las esferas. Estas están unidad  por medio  de un  alambre  conductor, como se ve  en la figura 2.18. las cargas  sobre  las esferas  en equilibrio son q1 y q2, respectivamente, y están  cargadas  de manera uniforme. Encuentre la proporción  de las  magnitudes  de los campos  eléctricos  en las  superficies  de   las esferas

Incógnita:

Encuentre la proporción  de las  magnitudes  de los campos  eléctricos  en las  superficies  de   las esferas

Datos:

Dos conductores esféricos  de radios r1 y r2  están  separados  por una distancia  mucho  mayor que el radio de cualquiera  de  las esferas. Estas están unidad  por medio  de un  alambre  conductor,

La figura 2.18.

Conocimientos previos:

Campo electrico

Diferencia de potencial

Figura 2.19Figura 2.19

Solución: Puesto que las esferas están  conectadas  por un  alambre  conductor, deben  estar  al mismo  potencial electrico:

 

 Ec.1) ,       por tanto la razón de carga  es:

 

. En vista  de que  las esferas  están  muy  alejadas  y sus  superficies  están  cargadas  de manera  uniforme, se  puede expresar  la  magnitud  de los   campos  eléctricos  en sus  superficies como:

.

Tomando  la razón  de estos campos, y utilizando la  Ec. 1), se encuentra que: . Por consiguiente, el  campo  es mas  intenso en la vecindad  de  la esfera  mas  pequeña  aun cundo los potenciales  eléctricos  de ambas  esferas son iguales.

Una Cavidad Dentro de un Conductor

Figura 2.20figura 2.20

Considere un contutor  de forma  arbitraria  que contiene  una  cavidad,  como se muestra  en la fig. 2.20. su ponga  que no ay cargas  dentro de la cavidad. En este caso  el campo electrico  dentro  de la cavidad  debe ser cero, independientemente  de la distribución  de carga  sobre  la superficie  exterior  del  conductor. Además, el  campo  en la cavidad  es cero,  incluso  si existe   un  campo electrico afuera del  conductor.

Para probar  este punto  aproveche  el hecho  de que  todo punto  sobre  un conductor  se encuentra  al mismo  potencial electrico  y,  por ello, dos  puntos  cualesquiera  A y B  sobre la superficie  de la cavidad  deben  estar al mismo potencial. Imagine ahora  que el  campo E existe  en la cavidad,  y calcule  la diferencia  de potencial VA-VB definida  por la ecuación 2.3;

Si E es diferente  de cero, siempre  puede  existir  una  trayectoria  entre A y B  para la cual Eds sea  un numero positivo; por tanto, la integral  debe ser  positiva. Sin  embargo, puesto que VA-VB = 0, la integral  debe ser  cero para  todas  las  trayectorias  entre  cualesquiera  dos  puntos  sobre el conductor,  lo cual implica  que E es  cero  en todas partes. Esta contradicción puede conciliarse  solo si E = 0  dentro  de la cavidad. Así, se concluye  que una  cavidad  rodeada  por  paredes  conductoras  es una  región  libre  de campo siempre   y cuando no haya  cargas  dentro  de la cavidad.

Descarga de Corona

Un fenómeno conocido como descarga de corona  se observa  cerca   de un  conductor  tal  como  una línea   de potencia   de alto  voltaje.  Cuando el campo electrico  en la vecindad  del conductor  es suficientemente  intenso, las moléculas  de aire  son  despojadas de  electrones. Esto provoca  que las moléculas  se ionicen, con  lo cual  se incrementa  la capacidad  conductora del aire. El brillo  observado (descarga de corona) resulta de las recombinaciones  de los electrones libres  con las moléculas  de aire  ionizadas.  Si un conductor  tiene  una  forma irregular, el campo  electrico  puede  ser  muy  alto  cerca  de puntos  o bordes  filosos del  conductor;  en consecuencia, es  mas probable  que  ocurra el proceso de ionización  y la  descarga  en  corona  alrededor  de  tales  puntos.

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2.7 El experimento de la gota de aceite de millikan

Durante el periodo que  va de 1909 a 1913, Robert Millikan desarrollo  un brillante   conjunto  de experimentos  en los cuales  midió e, la carga  elemental en un electrón,  y demostró  la naturaleza  cuantizada  de esta carga. El aparato utilizado  por Millikan, representado por el esquena  de la figura 2.21, incluye  dos  placas  metálicas  paralelas. Gotas de  aceite cargadas  que salen  de un  atomizador  pasando a través  de un  pequeño  agujero en la placa superior. Un  haz  luminoso  dirigido  horizontal usado para  iluminar  las gotas de aceite, las cuales se observan  mediante un telescopio  cuyo eje  esta  en ángulo  recto con el haz  de luz. Cuando las gotas  se ven  de esta manera, aparecen como estrellas as brillantes  contra un fondo oscuro, y se puede  determinar  la rapidez  de caída de  las gotas  individuales

Figura 2.21

Figura 2.21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 2.22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 2.22

 

 

Suponga que se esta observando  una gota  individual  de masa m, que tiene una carga q, y que su carga es negativa. Si no hay campo electrico presente  entre las placas, las dos fuerzas  que actúan  sobre  la carga son la gravedad mg, que  actúa  hacia  abajo, y la fuerza  de arrastre  viscosa hacia  arriba FD, como se indica en la figura (2.22a). La fuerza de arrastre es proporcional  ala rapidez de la gota. Cuando  la gota alcanza  su rapidez  terminal v, las  dos fuerzas  se equilibran  entre  si (mg = FD).

Suponga  ahora  que un  campo electrico  se establece  entre  las placas  al  conectar a  una batería  de manera  tal que  la placa  superior  esta  a un  potencial  electrico  mas alto. En este caso una tercera  fureza  qE actúa  en la gota  cargada. Puesto que q es negativa  y E es  hacia  abajo, esta fuerza  eléctrica  esta  dirigida  hacia  arriba, como se muestra  en la figura (2.22b). Si  esta fuerza  es suficientemente grande, la gota  se mueve  hacia  arriba qE  equilibra  la suma  de la fuerza  de gravedad y la  fureza de arrastre  hacia abajo F’D, la  gota  alcanza  una nueva  rapidez  terminal v’ en dirección  ascendente.

Con el campo  activado una gota  se  mueve  lentamente  hacia  arriba,  a rapidez característica de centímetro por segundo. La rapidez  de caída  en  ausencia  de un campo  es comparable. Por consiguiente, uno puede  observar  durante  horas  como una  gota  individual  asciende  y cae  de manera  alterna, activando y  desactivando el campo electrico.

Después de hacer mediciones sobre miles de gotas. Millikan  y sus  colaboradores  encontraron  que  todas  las gotas, hasta  dentro  de una  precisión  de aproximadamente  1%, tenían  una carga  igual  a un   múltiplo entero de la carga elemental e.

 

donde e = 1.6x10-19 C. El experimento  de Millikan  establece  evidencia  concluyente  de que  la carga  esta  cuantizada. Por este trabajo  Millikan  fue honrado  con el  premio novel  de Física  en 1923.

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2.8 Aplicaciones de la Electrostatica

La  aplicación  practica de la electrostática  es muy variada  y esta  representada  por  dispositivos  como   barras  luminosas  y precipitadotes  electrostáticos así como las copiadoras  y la pintura de automóviles. Los  dispositivos  científicos  basados  en los principios  de la electrostática  incluyen  generadores  electrostáticos, el  microscopio  campo-ion  y los  motores  cohetes conducidos por inoes.

 Se sugiere  al alumno investigar  acerca de las aplicaciones  de la electrostática en la vida diaria y en el mundo científico. Se sugieren investigar  acerca de  los  siguientes  tres aparatos:

El generador de Van  de Graaff

El precipitador  electroestático

Xerografía  e impresión láser.

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